Seja
. Provar que a equação
possui somente uma raíz real
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos provar que essa equação
tem apenas uma raiz real, ou seja, apenas um valor de
que faz
igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e análise de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função
. Como é um polinômio de grau 3, sabemos que ele se estende infinitamente nos dois lados: quando
vai para mais infinito,
também vai para mais infinito, e quando
vai para menos infinito,
vai para menos infinito.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a derivada da função para entender se ela é estritamente crescente ou se tem pontos de máximo ou mínimo. A derivada de
é:
Isso nos mostra a inclinação da função em qualquer ponto
.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da derivada entre e fora desses pontos críticos:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Isso significa que a função é crescente antes de
, decrescente entre
e
, e novamente crescente após
.
Passo 6
Com esse comportamento, sabemos que a função
tem apenas um ponto de mínimo e um ponto de máximo. Como a função vai de menos infinito a mais infinito e só muda a direção duas vezes, ela só pode cruzar o eixo
uma vez.
Passo 7
Por fim, vamos conferir que
realmente cruza o eixo
. Testando alguns valores:
-
-
Já quee , pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Como vimos que só pode haver uma, concluímos que existe exatamente uma raiz real .
Resposta
A equação
possui somente uma raiz real
.
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.
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