Seja . Provar que a equação possui somente uma raíz real .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos provar que essa equação tem apenas uma raiz real, ou seja, apenas um valor de que faz igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e análise de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função . Como é um polinômio de grau 3, sabemos que ele se estende infinitamente nos dois lados: quando vai para mais infinito, também vai para mais infinito, e quando vai para menos infinito, vai para menos infinito.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a derivada da função para entender se ela é estritamente crescente ou se tem pontos de máximo ou mínimo. A derivada de é:
Isso nos mostra a inclinação da função em qualquer ponto .

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da derivada entre e fora desses pontos críticos:
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Isso significa que a função é crescente antes de , decrescente entre e , e novamente crescente após .

Passo 6

Com esse comportamento, sabemos que a função tem apenas um ponto de mínimo e um ponto de máximo. Como a função vai de menos infinito a mais infinito e só muda a direção duas vezes, ela só pode cruzar o eixo uma vez.

Passo 7

Por fim, vamos conferir que realmente cruza o eixo . Testando alguns valores:

  • Já que e , pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz entre 0 e 1. Como vimos que só pode haver uma, concluímos que existe exatamente uma raiz real .

Resposta

A equação possui somente uma raiz real .

Exercícios relacionados

Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
O que significa, geometricamente, uma sequência ser de Cauchy?
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Seja . Calcular aproximadamente com precisão 0.001.