a) Seja D uma região de R^2. Use a definição de integral dupla para explicar porque integral duplaD 1 d A é a área de D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região no plano e precisa usar a definição de integral dupla para mostrar por que é igual à área de . Basicamente, vamos explorar como a integral dupla pode representar a área de uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma integral dupla. Em termos simples, a integral dupla sobre uma região calcula a soma de valores de uma função em todos os pontos dessa região. No nosso caso, a função que estamos integrando é . Isso significa que, para cada ponto em , estamos somando 1.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que representa um pequeno elemento de área dentro de . Então, quando a gente integra sobre , estamos somando todos esses pequenos elementos de área. Imagine que está dividido em vários retângulos minúsculos, cada um com área . Multiplicando 1 por cada e somando tudo, a gente está, na prática, calculando a área total de .

Passo 4

Para deixar isso mais claro, pense que se você tem retângulos com áreas , a soma será exatamente a soma de todas as áreas desses retângulos, ou seja, a área total de . Quando aumentamos o número de retângulos e diminuímos suas áreas (levando ao limite), essa soma se aproxima cada vez mais da área real de .

Resposta

Então, concluindo, realmente calcula a área da região .

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