a) Seja uma região de . Use a definição de integral dupla para explicar porque é a área de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma região no plano e precisa usar a definição de integral dupla para mostrar por que é igual à área de . Basicamente, vamos explorar como a integral dupla pode representar a área de uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é uma integral dupla. Em termos simples, a integral dupla sobre uma região calcula a soma de valores de uma função em todos os pontos dessa região. No nosso caso, a função que estamos integrando é . Isso significa que, para cada ponto em , estamos somando 1.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que representa um pequeno elemento de área dentro de . Então, quando a gente integra sobre , estamos somando todos esses pequenos elementos de área. Imagine que está dividido em vários retângulos minúsculos, cada um com área . Multiplicando 1 por cada e somando tudo, a gente está, na prática, calculando a área total de .

Passo 4

Para deixar isso mais claro, pense que se você tem retângulos com áreas , a soma será exatamente a soma de todas as áreas desses retângulos, ou seja, a área total de . Quando aumentamos o número de retângulos e diminuímos suas áreas (levando ao limite), essa soma se aproxima cada vez mais da área real de .

Resposta

Então, concluindo, realmente calcula a área da região .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo:
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano e abaixo pela região no plano entre as curvas e o eixo .
Seja a região em com que é limitada por e a reta . Determine o valor de .