a) Seja
uma região de
. Use a definição de integral dupla para explicar porque
é a área de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma região
no plano
e precisa usar a definição de integral dupla para mostrar por que
é igual à área de
. Basicamente, vamos explorar como a integral dupla pode representar a área de uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma integral dupla. Em termos simples, a integral dupla sobre uma região
calcula a soma de valores de uma função em todos os pontos dessa região. No nosso caso, a função que estamos integrando é
. Isso significa que, para cada ponto
em
, estamos somando 1.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
representa um pequeno elemento de área dentro de
. Então, quando a gente integra
sobre
, estamos somando todos esses pequenos elementos de área. Imagine que
está dividido em vários retângulos minúsculos, cada um com área
. Multiplicando 1 por cada
e somando tudo, a gente está, na prática, calculando a área total de
.
Passo 4
Para deixar isso mais claro, pense que se você tem
retângulos com áreas
, a soma
será exatamente a soma de todas as áreas desses retângulos, ou seja, a área total de
. Quando aumentamos o número de retângulos e diminuímos suas áreas (levando ao limite), essa soma se aproxima cada vez mais da área real de
.
Resposta
Então, concluindo,
realmente calcula a área da região
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante:
Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano
e abaixo pela região no plano
entre as curvas
e o eixo
.
Seja
a região em
com
que é limitada por
e a reta
. Determine o valor de
.