Seja dada . Determine o conjunto imagem de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir qual é o conjunto imagem da função . Isso envolve matemática de funções e logaritmos. Vamos precisar entender como o logaritmo funciona e como os valores de e influenciam o resultado da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, , só está definido quando . No nosso caso, isso significa que tem que ser maior que zero. Então, temos a condição:

Passo 3

Agora, vamos analisar os componentes da função :
  • é sempre positivo ou zero, já que qualquer número ao quadrado não pode ser negativo.
  • pode ser positivo, negativo ou zero, dependendo do valor de .

Passo 4

Para descobrir o conjunto imagem, precisamos entender os possíveis valores que pode assumir. Como é sempre não negativo, o sinal da função dependerá de :
  • Se , então é negativo, fazendo com que seja negativo.
  • Se , , então .
  • Se , é positivo, então é positivo.

Passo 5

Como e podem variar livremente (desde que ), podemos fazer crescer indefinidamente e ajustar para que tome qualquer valor real desejado. Isso significa que pode ser qualquer número real positivo, negativo ou zero.

Resposta

O conjunto imagem de é .

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