Seja dada
. Determine o conjunto imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente descobrir qual é o conjunto imagem da função
. Isso envolve matemática de funções e logaritmos. Vamos precisar entender como o logaritmo funciona e como os valores de
e
influenciam o resultado da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural,
, só está definido quando
. No nosso caso, isso significa que
tem que ser maior que zero. Então, temos a condição:
Passo 3
Agora, vamos analisar os componentes da função
:
-
é sempre positivo ou zero, já que qualquer número ao quadrado não pode ser negativo. -
pode ser positivo, negativo ou zero, dependendo do valor de .
Passo 4
Para descobrir o conjunto imagem, precisamos entender os possíveis valores que
pode assumir. Como
é sempre não negativo, o sinal da função
dependerá de
:
- Se
, então é negativo, fazendo com que seja negativo. - Se
, , então . - Se
, é positivo, então é positivo.
Passo 5
Como
e
podem variar livremente (desde que
), podemos fazer
crescer indefinidamente e ajustar
para que
tome qualquer valor real desejado. Isso significa que
pode ser qualquer número real positivo, negativo ou zero.
Resposta
O conjunto imagem de
é
.
Exercícios relacionados
Seja dada
. Determine e esboce o domínio de
.
Seja dada
. Calcule
.
Seja dada
. Calcule
.
Seja dada
. Determine e descreva o domínio de
.