Seja a integral de linha contour integral x y d x plus x squared y cubed d y avaliada sobre a curva C que corresponde ao quadrado de vértices (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2), orientada positivamente. Uma das estratégias que pode ser empregada no cálculo dessa integral de linha corresponde à aplicação do teorema de Green e o cálculo por meio da integral dupla correspondente, desde que as hipóteses desse resultado sejam verificadas. Aplique o teorema de Green e calcule a integral de linha apresentada, em seguida assinale a alternativa que indica corretamente o resultado obtido por meio desse procedimento de cálculo. Escolha uma:
a. 12.
B. 29.
C. 18.
D. 0.
E. 5
a. 12.
B. 29.
C. 18.
D. 0.
E. 5
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha, que é basicamente uma forma de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a integral é
sobre um quadrado com vértices em
,
,
e
, percorrido no sentido positivo (isto é, no sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que:
Aqui,
e
. O domínio
é a região dentro do nosso quadrado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Então, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração. Como
é um quadrado de
a
, os limites são de
a
e de
a
.
Então, a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a
:
Resposta
A integral de linha vale 12.
Alternativa A. 12.
Alternativa A. 12.