Seja a integral de linha contour integral x y d x plus x squared y cubed d y avaliada sobre a curva C que corresponde ao quadrado de vértices (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2), orientada positivamente. Uma das estratégias que pode ser empregada no cálculo dessa integral de linha corresponde à aplicação do teorema de Green e o cálculo por meio da integral dupla correspondente, desde que as hipóteses desse resultado sejam verificadas. Aplique o teorema de Green e calcule a integral de linha apresentada, em seguida assinale a alternativa que indica corretamente o resultado obtido por meio desse procedimento de cálculo. Escolha uma:
a. 12.
B. 29.
C. 18.
D. 0.
E. 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha, que é basicamente uma forma de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a integral é ointC (xy,dx + x^2y^3,dy) sobre um quadrado com vértices em (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2), percorrido no sentido positivo (isto é, no sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = xy e Q = x^2y^3. O domínio D é a região dentro do nosso quadrado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^2y^3) = 2xy^3
partial Ppartial y = partialpartial y (xy) = x

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2xy^3 - x = x(2y^3 - 1)
Então, nossa integral dupla fica:
integral duplaD x(2y^3 - 1),dA

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. Como D é um quadrado de (0,0) a (2,2), os limites são de x = 0 a x = 2 e de y = 0 a y = 2.
Então, a integral dupla fica:
integral0^2 integral0^2 x(2y^3 - 1),dy,dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integral0^2 (2xy^3 - x),dy = 2x integral0^2 y^3,dy - x integral0^2 dy
Calculando cada parte:
2x [ y^44 ]0^2 = 2x ( 164 - 0 ) = 2x cdot 4 = 8x
-x [ y ]0^2 = -x(2 - 0) = -2x
Somando as duas partes:
8x - 2x = 6x

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a x:
integral0^2 6x,dx = 6 integral0^2 x,dx = 6 [ x^22 ]0^2 = 6 ( 42 - 0 ) = 6 cdot 2 = 12

Resposta

A integral de linha vale 12.
Alternativa A. 12.

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