Seja a definição de produto vetorial (u x v):
Se u=(u1, u2, u3) e v=(v1, v2, v3) forem vetores no espaço tridimensional, então o produto vetorial u times v é o vetor definido por
u times v=(u2 v3-u3 v2, u3 v1-u1 v3, u1 v2-u2 v1)
ou, em notação de determinante,
u times v=(|ll u2 & u3 v2 & v3 |,-|ll u1 & u3 v1 & v3 |,|ll u1 & u2 v1 & v2 |)
Calcule o produto vetorial entre os vetores: u=(3,2,-1) e v=(0,2,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de produto vetorial! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o produto vetorial entre os vetores u = (3, 2, -1) e v = (0, 2, -3) no espaço tridimensional. Pra isso, vamos usar a fórmula do produto vetorial que envolve calcular determinantes de matrizes 2x2 para cada componente do novo vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto vetorial. Se tivermos dois vetores u times v = ( | cc u2 & u3 v2 & v3 |, -| cc u1 & u3 v1 & v3 |, | cc u1 & u2 v1 & v2 | ) e , então o produto vetorial é dado por:
Essa fórmula nos dá um novo vetor com três componentes, cada uma calculada a partir de determinantes de 2x2.

Passo 3

Vamos calcular cada componente do produto vetorial usando os vetores u e v fornecidos:
  • Primeira componente:
    | cc u2 & u3 v2 & v3 | = | cc 2 & -1 2 & -3 | = (2)(-3) - (-1)(2) = -6 + 2 = -4
  • Segunda componente:
    Lembre-se que há um sinal negativo na segunda componente, então:
    -| cc u1 & u3 v1 & v3 | = -| cc 3 & -1 0 & -3 | = -[(3)(-3) - (-1)(0)] = -[-9 - 0] = 9
  • Terceira componente:
    | cc u1 & u2 v1 & v2 | = | cc 3 & 2 0 & 2 | = (3)(2) - (2)(0) = 6 - 0 = 6

Passo 4

Agora, juntando todas as componentes que calculamos:
u times v = (-4, 9, 6)

Resposta

O produto vetorial entre os vetores u e v é .

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