Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Existe uma transformação linear que é injetora
Passo 1
Então, a gente tem uma afirmação que diz: “Existe uma transformação linear que é injetora.” Nosso objetivo aqui é descobrir se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de transformações lineares e injetividade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É basicamente uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para todo vetor e escalar , temos:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o que significa ser injetora. Uma transformação é injetora se cada elemento no espaço de chegada () é imagem de no máximo um elemento no espaço de partida (). Em outras palavras, se então .
Passo 4
Para verificar se uma transformação linear é injetora, usamos o teorema do posto e do núcleo. Diz ele que:
No nosso caso, a dimensão do domínio é 4. Se a transformação for injetora, o núcleo deve ter dimensão zero (não há vetores diferentes de zero que são mapeados para zero).
Passo 5
Porém, a transformação está indo para . O número máximo de pivôs (posto) que podemos ter é 3, porque o espaço de chegada tem dimensão 3. Então, pelo teorema:
Isso significa que sempre vai ter pelo menos um vetor diferente de zero no núcleo, ou seja, a transformação não pode ser injetora.
Resposta
A afirmativa é falsa. Não existe uma transformação linear que seja injetora porque o núcleo da transformação sempre terá dimensão pelo menos 1, impedindo a injetividade.