Seja , definida no intervalo . Encontre um valor que satisfaça as condições do Teorema do Valor Médio.

Passo 1

Então, a gente tem a função definida no intervalo . A pergunta é para encontrar um valor entre 0 e 2 que satisfaça o Teorema do Valor Médio. Vamos precisar saber o que é esse teorema e como aplicá-lo para achar esse valor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio. Esse teorema diz que se uma função é contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto onde a derivada é igual à inclinação da reta que liga os pontos e .

Passo 3

Vamos verificar se a função cumpre as condições do teorema. A função é um polinômio, e polinômios são contínuos e diferenciáveis em todo lugar. Então, podemos aplicar o Teorema do Valor Médio nesse caso.

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta que liga e . Primeiro, encontramos e :
A inclinação da reta é:

Passo 5

Segundo o Teorema do Valor Médio, existe um em tal que . Vamos calcular a derivada de :
Então, queremos encontrar onde:

Passo 6

Resolvendo a equação para :
Portanto, o valor que satisfaz o Teorema do Valor Médio é .

Resposta

O valor que satisfaz o Teorema do Valor Médio é .

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Calcule os seguintes limites:
.
Esboce o gráfico de considerando:
(a) Interseções com os eixos
Esboce o gráfico de considerando:
(b) Pontos críticos