Esboce o gráfico de considerando:
(b) Pontos críticos

Passo 1

Vamos resolver a parte (b) do exercício que pede para identificar os pontos críticos da função . Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente em derivadas e análise de funções. Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função e ver onde ela é igual a zero ou onde não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . Como temos uma fração com funções no numerador e no denominador, vamos usar a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se , então a derivada é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente utilizando as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada é igual a zero ou onde ela não existe.
Primeiro, vamos encontrar onde :
Para que a fração seja zero, o numerador precisa ser zero:
Não há soluções reais para essa equação, pois nunca é igual a zero.

Passo 6

Agora, vamos verificar onde a derivada não existe, ou seja, onde o denominador é zero:
Portanto, os pontos e são onde a derivada não existe. Esses pontos são os pontos críticos da função.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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Seja , definida no intervalo . Encontre um valor que satisfaça as condições do Teorema do Valor Médio.
Esboce o gráfico de considerando:
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(Bônus) A função é inversível no intervalo . Calcule .