Obtenha as equações das retas t que passa por p(3,0) e são tangentes à parábola (α)x = -2y².

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações das retas que passam pelo ponto $ P(3,0) $ e são tangentes à parábola $ \alpha x = -2y^2 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como equação da reta e condição de tangência.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação geral de uma reta que passa pelo ponto $ P(3,0) $. Podemos usar a forma da reta na inclinação $ m $:
P(3,0)
Aqui, $ m $ representa a inclinação da reta.

Passo 3

Agora, vamos substituir a equação da reta na equação da parábola para encontrar os pontos de interseção. A condição de tangência ocorre quando a reta toca a parábola em exatamente um ponto, ou seja, quando o sistema de equações tem uma única solução.
Substituindo $ y = m(x - 3) $ na parábola $ \alpha x = -2y^2 $:
y = m(x - 3)

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
alpha x = -2m^2(x - 3)^2
Desenvolvendo o quadrado:
alpha x = -2m^2(x^2 - 6x + 9)

Passo 5

Distribuindo o $ -2m^2 $:
-2m^2
Leva tudo para o lado esquerdo da equação:
alpha x = -2m^2x^2 + 12m^2x - 18m^2

Passo 6

Para que a reta seja tangente, o discriminante dessa equação quadrática deve ser zero. O discriminante $ D $ é dado por:
D
Aqui, $ a = 2m^2 $, $ b = -(\alpha + 12m^2) $ e $ c = 18m^2 $. Igualando $ D $ a zero:
D = b^2 - 4ac

Passo 7

Simplificando a equação:
alpha^2 + 24alpha m^2 + 144m^4 - 144m^4 = 0
Os termos $ 144m^4 $ se cancelam:
144m^4

Passo 8

Fatorando $ \alpha $:
alpha
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ \alpha = 0 $ → Não é interessante para a parábola.
  2. $ \alpha + 24m^2 = 0 $ → $ m^2 = -\frac{\alpha}{24} $
Para $ m $ ser real, $ \alpha $ deve ser negativo.

Passo 9

Assumindo $ \alpha = -24k^2 $, onde $ k $ é real, temos:
alpha = -24k^2

Passo 10

Substituindo $ m $ na equação da reta:
m

Resposta

As equações das retas tangentes são:
y = raiz -alpha24 , (x - 3)
e
y = -raiz -alpha24 , (x - 3)

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