Obtenha as equações das retas t que passa por p(3,0) e são tangentes à parábola (α)x = -2y².
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações das retas que passam pelo ponto $ P(3,0) $ e são tangentes à parábola $ \alpha x = -2y^2 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como equação da reta e condição de tangência.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a equação geral de uma reta que passa pelo ponto $ P(3,0) $. Podemos usar a forma da reta na inclinação $ m $:
Aqui, $ m $ representa a inclinação da reta.
Passo 3
Agora, vamos substituir a equação da reta na equação da parábola para encontrar os pontos de interseção. A condição de tangência ocorre quando a reta toca a parábola em exatamente um ponto, ou seja, quando o sistema de equações tem uma única solução.
Substituindo $ y = m(x - 3) $ na parábola $ \alpha x = -2y^2 $:
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Desenvolvendo o quadrado:
Passo 5
Distribuindo o $ -2m^2 $:
Leva tudo para o lado esquerdo da equação:
Passo 6
Para que a reta seja tangente, o discriminante dessa equação quadrática deve ser zero. O discriminante $ D $ é dado por:
Aqui, $ a = 2m^2 $, $ b = -(\alpha + 12m^2) $ e $ c = 18m^2 $. Igualando $ D $ a zero:
Passo 7
Simplificando a equação:
Os termos $ 144m^4 $ se cancelam:
Passo 8
Fatorando $ \alpha $:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ \alpha = 0 $ → Não é interessante para a parábola.
- $ \alpha + 24m^2 = 0 $ → $ m^2 = -\frac{\alpha}{24} $
Para $ m $ ser real, $ \alpha $ deve ser negativo.
Passo 9
Assumindo $ \alpha = -24k^2 $, onde $ k $ é real, temos:
Passo 10
Substituindo $ m $ na equação da reta:
Resposta
As equações das retas tangentes são:
e