Considere a transformação linear definida por .
Encontre uma base de tal que é uma matriz diagonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base de tal que a matriz da transformação nessa base, ou seja, , seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de transformações lineares, bases, e principalmente a diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, para diagonalizar a matriz da transformação, precisamos encontrar os autovalores (ou valores próprios) de . Os autovalores são soluções da equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos montar a matriz de :
Agora, subtraímos na diagonal principal e calculamos o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
[
]
Das equações:
Ambas as equações levam a . Então, um autovetor associado a é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Das equações:
Vamos resolver . Então, um autovetor associado a é:
Passo 5
Agora que temos os dois autovetores e , podemos formar a base desejada:
Essa base faz com que a matriz seja diagonal, com os autovalores na diagonal principal.