Considere a transformação linear definida por .
Encontre uma base de tal que é uma matriz diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base de tal que a matriz da transformação nessa base, ou seja, , seja uma matriz diagonal. Isso envolve conceitos de transformações lineares, bases, e principalmente a diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, para diagonalizar a matriz da transformação, precisamos encontrar os autovalores (ou valores próprios) de . Os autovalores são soluções da equação característica:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz de :
Agora, subtraímos na diagonal principal e calculamos o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :

[



]
Das equações:
Ambas as equações levam a . Então, um autovetor associado a é:
Para :
Resolvemos :

[



]
Das equações:
Vamos resolver . Então, um autovetor associado a é:

Passo 5

Agora que temos os dois autovetores e , podemos formar a base desejada:
Essa base faz com que a matriz seja diagonal, com os autovalores na diagonal principal.

Resposta

Uma base que diagonaliza é:

Exercícios relacionados

Determine o valor de de modo que o sistema
seja:
impossível.
Seja um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Mostre que existe uma base ortonormal de .
Seja uma transformação linear. Dizemos que um subespaço vetorial é invariante por se . Mostre que um subespaço de de dimensão 1 é invariante por se, e somente se, existe tal que .
Sejam e bases do tais que e .
(b) Encontre , se .