Seja
o
-espaço vetorial formado por todas as sequências numéricas da forma
com
. A adição e a multiplicação por escalar são definidas termo a termo, isto é,
e
para todo
. Definimos
Seja
. A seguinte afirmação é correta:
(d)
é um subespaço vetorial de
e possui dimensão infinita.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um espaço vetorial
formado por todas as sequências numéricas do tipo
, onde cada
é um número real. As operações de adição e multiplicação por escalar são feitas termo a termo.
A gente define um subconjunto
desse espaço
onde, para cada sequência em
, cada termo a partir do terceiro segue a regra
para todo natural
. A questão quer que a gente confirme se a afirmação (d) está correta: "
é um subespaço vetorial de
e possui dimensão infinita."
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero: A sequência onde todos os
deve estar em . - É fechado sob adição: Se você pegar duas sequências em
e somar termo a termo, o resultado também deve estar em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma sequência de
por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
A sequência zero é
. Vamos verificar se ela satisfaz a condição
:
Isso é verdade, então a sequência zero está em
.
Passo 4
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas sequências
e
que estão em
. Isso significa que:
Vamos somar essas duas sequências termo a termo:
Agora, vamos verificar a condição para
:
Então,
também satisfaz
, ou seja, está em
.
Passo 5
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma sequência
em
e um escalar
. Multiplicamos a sequência por
:
Agora, verificamos a condição:
Portanto,
também satisfaz a condição
, ou seja, está em
.
Passo 6
Como
satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Agora, vamos falar sobre a dimensão de
. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço.
Para
, cada sequência é totalmente determinada pelos seus dois primeiros termos
e
, pois os demais termos seguem a regra
. Isso se assemelha à sequência de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores.
No entanto, nesse caso, como não há restrições excepcionais nos valores de
e
, podemos variar esses dois termos livremente dentro dos reais. Isso significa que há infinitas possíveis combinações de
e
, fazendo com que
tenha dimensão infinita.
Resposta
A afirmação (d) está correta:
é um subespaço vetorial de
e possui dimensão infinita.