Seja V o R-espaço vetorial formado por todas as sequências numéricas da forma a0, a1, a2, ... com a_i em R. A adição e a multiplicação por escalar são definidas termo a termo, isto é, (a0, a1, a2, ...) + (b0, b1, b2, ...) := (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, ...) e r(a0, a1, a2, ...) := (r a0, r a1, r a2, ...) para todo r em R. Definimos
W = {(a0, a1, a2, ...) ∈ V | an+2 = an+1 + an para todo n natural ≥ 0}
Seja phi := 1/2 * (1 + raiz(5)). A seguinte afirmação é correta:
(d) W é um subespaço vetorial de V e possui dimensão infinita.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um espaço vetorial formado por todas as sequências numéricas do tipo , onde cada é um número real. As operações de adição e multiplicação por escalar são feitas termo a termo.
A gente define um subconjunto desse espaço onde, para cada sequência em , cada termo a partir do terceiro segue a regra para todo natural . A questão quer que a gente confirme se a afirmação (d) está correta: " é um subespaço vetorial de e possui dimensão infinita."

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: A sequência onde todos os deve estar em .
  2. É fechado sob adição: Se você pegar duas sequências em e somar termo a termo, o resultado também deve estar em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma sequência de por um número real qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses pontos para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
A sequência zero é . Vamos verificar se ela satisfaz a condição :
Isso é verdade, então a sequência zero está em .

Passo 4

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas sequências e que estão em . Isso significa que:
Vamos somar essas duas sequências termo a termo:
Agora, vamos verificar a condição para :
Então, também satisfaz , ou seja, está em .

Passo 5

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma sequência em e um escalar . Multiplicamos a sequência por :
Agora, verificamos a condição:
Portanto, também satisfaz a condição , ou seja, está em .

Passo 6

Como satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, fechado sob adição e multiplicação por escalar), podemos concluir que é, de fato, um subespaço vetorial de .

Passo 7

Agora, vamos falar sobre a dimensão de . A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço.
Para , cada sequência é totalmente determinada pelos seus dois primeiros termos e , pois os demais termos seguem a regra . Isso se assemelha à sequência de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores.
No entanto, nesse caso, como não há restrições excepcionais nos valores de e , podemos variar esses dois termos livremente dentro dos reais. Isso significa que há infinitas possíveis combinações de e , fazendo com que tenha dimensão infinita.

Resposta

A afirmação (d) está correta: é um subespaço vetorial de e possui dimensão infinita.

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