Seja A uma matriz real de ordem n > 1 com n autovalores distintos. Seja B != I_n uma matriz que comuta com A, onde In representa a matriz identidade de ordem n. Considere as seguintes afirmações:
(V) O produto A B não é diagonalizável

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas matrizes, e , onde é uma matriz quadrada de ordem com autovalores distintos. A matriz comuta com (ou seja, ) e não é a matriz identidade . A afirmação que vamos analisar é:
(V) O produto não é diagonalizável.
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes diagonais e comutatividade. Precisamos verificar se pode ser diagonalizado ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se existe uma matriz invertível e uma matriz diagonal tal que:
Ou seja, pode ser representada de forma simples numa base adequada.

Passo 3

Agora, como tem autovalores distintos, sabemos que é uma matriz diagonalizável. Isso porque ter autovalores distintos garante que possui uma base de autovetores, permitindo sua diagonalização:
onde é a matriz diagonal dos autovalores de .

Passo 4

Como e comutam ( ), e é diagonalizável com autovalores distintos, podemos concluir que também é diagonalizável e que pode ser diagonalizada na mesma base que . Portanto:
onde é uma matriz diagonal.

Passo 5

Agora, vamos analisar o produto :
Como e são diagonais, seu produto também é diagonal. Assim, temos:
O que mostra que é diagonalizável, já que é expressa como uma matriz diagonal na base .

Resposta

A afirmação (V) O produto não é diagonalizável é falsa. O produto é, de fato, diagonalizável.

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