Seja
o espaço vetorial real das funções polinomiais
, seja
o operador derivação,
, e seja
o operador definido por
. Considere as seguintes afirmações:
(V)
(V)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço vetorial dos polinômios reais
. Temos dois operadores:
, que é a derivada dos polinômios, e
, que multiplica o polinômio por
. A afirmação que vamos analisar é a seguinte:
(V)
Vamos verificar se o núcleo do operador derivação
é realmente o conjunto de polinômios que satisfazem
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de um operador linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os polinômios
em
tal que
. Em termos simples, são os polinômios cuja derivada é zero.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a derivada de um polinômio é zero apenas se o polinômio for constante. Ou seja, se
, onde
é uma constante real, então
para todo
. Portanto, o núcleo de
é o conjunto de todos os polinômios constantes:
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto
. Esse conjunto consiste em todos os polinômios que, quando avaliados em
, resultam em zero. Em outras palavras, esses polinômios têm o termo constante igual a zero, ou seja, podem ser escritos como
, sem o termo
.
Passo 5
Comparando os dois conjuntos:
-
, ou seja, apenas polinômios constantes. -
, ou seja, polinômios sem termo constante.
Percebemos que esses conjuntos são diferentes. O núcleo de
contém apenas os polinômios constantes, enquanto o conjunto
contém polinômios que não são constantes, pois sempre têm pelo menos um termo de grau 1 ou superior.
Resposta
A afirmação (V) é falsa. O núcleo do operador derivação
consiste apenas dos polinômios constantes, não de todos os polinômios que satisfazem
.