Seja V = R[t] o espaço vetorial real das funções polinomiais p: R -> R, seja D: V -> V o operador derivação, D(p)(t) = p'(t), e seja T: V -> V o operador definido por T(p)(t) = t * p(t). Considere as seguintes afirmações:
(V) ker(D) = {p em V : p(0) = 0}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o espaço vetorial dos polinômios reais . Temos dois operadores: , que é a derivada dos polinômios, e , que multiplica o polinômio por . A afirmação que vamos analisar é a seguinte:
(V)
Vamos verificar se o núcleo do operador derivação é realmente o conjunto de polinômios que satisfazem .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de um operador linear. O núcleo de , denotado por , é o conjunto de todos os polinômios em tal que . Em termos simples, são os polinômios cuja derivada é zero.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a derivada de um polinômio é zero apenas se o polinômio for constante. Ou seja, se , onde é uma constante real, então para todo . Portanto, o núcleo de é o conjunto de todos os polinômios constantes:

Passo 4

Agora, vamos analisar o conjunto . Esse conjunto consiste em todos os polinômios que, quando avaliados em , resultam em zero. Em outras palavras, esses polinômios têm o termo constante igual a zero, ou seja, podem ser escritos como , sem o termo .

Passo 5

Comparando os dois conjuntos:
  • , ou seja, apenas polinômios constantes.
  • , ou seja, polinômios sem termo constante.
Percebemos que esses conjuntos são diferentes. O núcleo de contém apenas os polinômios constantes, enquanto o conjunto contém polinômios que não são constantes, pois sempre têm pelo menos um termo de grau 1 ou superior.

Resposta

A afirmação (V) é falsa. O núcleo do operador derivação consiste apenas dos polinômios constantes, não de todos os polinômios que satisfazem .

Exercícios relacionados