Considere em R^4 o produto interno usual e seja
S=(x, y, z, w) in R^4: x-2 y+z+w=0
(i) Determine uma base ortonormal de S .
(ii) Dado v in R^4, encontre vetores v1 in S e v2 in S^perp tais que v=v1+v2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente está trabalhando no espaço R^4 com o produto interno usual. Temos o conjunto S definido por todas as tuplas (x, y, z, w) que satisfazem a equação x - 2y + z + w = 0. O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Parte (i): Encontrar uma base ortonormal para o subespaço S.
  2. Parte (ii): Para qualquer vetor v em R^4, decompor ele em duas partes: uma que está em S e outra que está no complemento ortogonal de S, ou seja, S^perp.
Vamos precisar entender conceitos de subespaços, bases, ortogonalização e projeção ortogonal. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (i): encontrar uma base ortonormal para S.
Entendendo o Subespaço S:
A equação x - 2y + z + w = 0 define um hiperplano em R^4. Isso significa que S é um subespaço de dimensão 3 (já que uma equação linear reduz a dimensão total em 1).
Encontrando uma Base para S:
Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para x:
x = 2y - z - w
Então, qualquer vetor em S pode ser escrito como:
(x, y, z, w) = (2y - z - w, y, z, w) = y(2, 1, 0, 0) + z(-1, 0, 1, 0) + w(-1, 0, 0, 1)
Isso nos dá três vetores que geram S:
v1 = (2, 1, 0, 0), v2 = (-1, 0, 1, 0), v3 = (-1, 0, 0, 1)
Ortonormalizando a Base:
Agora, queremos que esses vetores não só gerem S, mas também sejam ortonormais, ou seja, sejam mutuamente ortogonais e tenham norma 1.
Vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar essa base.

Passo 3

Aplicando o Processo de Gram-Schmidt:
  1. Primeiro Vetor ( u1):
    Começamos com v1 = (2, 1, 0, 0).
    Normalizamos:
    |v1| = raiz2^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = raiz4 + 1 = raiz5
    Então,
    u1 = v1|v1| = ( 2raiz5, 1raiz5, 0, 0 )
  2. Segundo Vetor ( u2):
    Pegamos v2 = (-1, 0, 1, 0) e a projetamos em u1:
    Proju1 v2 = ( v2 cdot u1 ) u1
    Calculando o produto interno:
    v2 cdot u1 = (-1)(2raiz5) + 0(1raiz5) + 1(0) + 0(0) = -2raiz5
    Então,
    Proju1 v2 = -2raiz5 cdot ( 2raiz5, 1raiz5, 0, 0 ) = ( -45, -25, 0, 0 )
    Subtraindo a projeção de v2:
    u2' = v2 - Proju1 v2 = ( -1 + 45, 0 + 25, 1 - 0, 0 - 0 ) = ( -15, 25, 1, 0 )
    Normalizamos u2':
    |u2'| = raiz(-15)^2 + (25)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz125 + 425 + 1 = raiz525 + 1 = raiz5 + 2525 = raiz3025 = raiz65 = raiz305
    Então,
    u2 = u2'|u2'| = ( -15 cdot 5raiz30, 25 cdot 5raiz30, 1 cdot 5raiz30, 0 cdot 5raiz30 ) = ( -1raiz30, 2raiz30, 5raiz30, 0 )
  3. Terceiro Vetor ( u3):
    Agora, pegamos v3 = (-1, 0, 0, 1) e removemos as componentes nas direções de u1 e u2:
    Proju1 v3 = (v3 cdot u1) u1
    Calculando:
    v3 cdot u1 = (-1)(2raiz5) + 0(1raiz5) + 0(0) + 1(0) = -2raiz5
    Proju1 v3 = -2raiz5 cdot ( 2raiz5, 1raiz5, 0, 0 ) = ( -45, -25, 0, 0 )
    Proju2 v3 = (v3 cdot u2) u2
    Calculando:
    v3 cdot u2 = (-1)(-1raiz30) + 0(2raiz30) + 0(5raiz30) + 1(0) = 1raiz30
    Proju2 v3 = 1raiz30 cdot ( -1raiz30, 2raiz30, 5raiz30, 0 ) = ( -130, 230, 530, 0 )
    Subtraindo as projeções de v3:
    u3' = v3 - Proju1 v3 - Proju2 v3 = ( -1 + 45 + 130, 0 + 25 - 230, 0 - 0 - 530, 1 - 0 - 0 )
    Simplificando:
    u3' = ( -15 + 130, 25 - 115, -16, 1 ) = ( -630 + 130, 1230 - 230, -530, 1 ) = ( -530, 1030, -530, 1 ) = ( -16, 13, -16, 1 )
    Calculando a norma:
    |u3'| = raiz(-16)^2 + (13)^2 + (-16)^2 + 1^2 = raiz136 + 19 + 136 + 1 = raiz1 + 4 + 136 + 1 = raiz636 + 1 = raiz16 + 1 = raiz76 = raiz426
    Então,
    u3 = u3'|u3'| = ( -16 cdot 6raiz42, 13 cdot 6raiz42, -16 cdot 6raiz42, 1 cdot 6raiz42 ) = ( -1raiz42, 2raiz42, -1raiz42, 6raiz42 )

Passo 4

Agora, combinando tudo, nossa base ortonormal para S é composta pelos vetores u1, u2 e u3 que encontramos:
u1 = ( 2raiz5, 1raiz5, 0, 0 )
u2 = ( -1raiz30, 2raiz30, 5raiz30, 0 )
u3 = ( -1raiz42, 2raiz42, -1raiz42, 6raiz42 )
Esses vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1, então eles formam uma base ortonormal para S.

Passo 5

Agora vamos para a parte (ii): Dado um vetor v in R^4, queremos encontrar vetores v1 in S e v2 in S^perp tais que v = v1 + v2.
Entendendo a Decomposição:
Todo vetor v no espaço pode ser decomposto em uma soma de um vetor no subespaço S e outro no complemento ortogonal de S, ou seja, S^perp.
Propriedades Importantes:
  • S^perp é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em S.
  • A decomposição é única.
Como Encontrar v1 e v2:
  1. Encontrar a Projeção de v em S:
    A projeção ortogonal de v em S nos dará o vetor v1.
  2. Encontrar v2:
    Subtraímos a projeção de v em S de v para obter v2.
Fórmula da Projeção:
Se temos uma base ortonormal u1, u2, u3 para S, a projeção de v em S é:
ProjS v = (v cdot u1) u1 + (v cdot u2) u2 + (v cdot u3) u3
Então, v1 = ProjS v e v2 = v - v1.

Passo 6

Aplicando a Fórmula:
  1. Calculando v1:
    v1 = (v cdot u1) u1 + (v cdot u2) u2 + (v cdot u3) u3
  2. Calculando v2:
    v2 = v - v1
Passos Detalhados:
  • Passo 1: Calcular v cdot u1.
  • Passo 2: Multiplicar o resultado por u1.
  • Passo 3: Repetir para u2 e u3.
  • Passo 4: Somar todas as projeções para obter v1.
  • Passo 5: Subtrair v1 de v para encontrar v2.
Exemplo:
Vamos supor que v = (a, b, c, d).
  • Calculando cada componente:
    v cdot u1 = a cdot 2raiz5 + b cdot 1raiz5 + c cdot 0 + d cdot 0 = 2a + braiz5
    v cdot u2 = a cdot (-1raiz30) + b cdot 2raiz30 + c cdot 5raiz30 + d cdot 0 = -a + 2b + 5craiz30
    v cdot u3 = a cdot (-1raiz42) + b cdot 2raiz42 + c cdot (-1raiz42) + d cdot 6raiz42 = -a + 2b - c + 6draiz42
  • Calculando v1:
    v1 = ( 2a + braiz5 ) ( 2raiz5, 1raiz5, 0, 0 ) + ( -a + 2b + 5craiz30 ) ( -1raiz30, 2raiz30, 5raiz30, 0 ) + ( -a + 2b - c + 6draiz42 ) ( -1raiz42, 2raiz42, -1raiz42, 6raiz42 )
  • Calculando v2:
    v2 = (a, b, c, d) - v1
Esse processo nos dá os vetores v1 em S e v2 em S^perp.

Resposta

(i) Uma base ortonormal de S é formada pelos vetores
u1 = ( 2raiz5, 1raiz5, 0, 0 ), u2 = ( -1raiz30, 2raiz30, 5raiz30, 0 ), u3 = ( -1raiz42, 2raiz42, -1raiz42, 6raiz42 )
(ii) Dado v in R^4, os vetores v1 in S e v2 in S^perp que satisfazem v = v1 + v2 são:
v1 = (v cdot u1) u1 + (v cdot u2) u2 + (v cdot u3) u3
v2 = v - v1

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