Considere em
o produto interno usual e seja
(i) Determine uma base ortonormal de S .
(ii) Dado
, encontre vetores
e
tais que
.
(ii) Dado
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente está trabalhando no espaço
com o produto interno usual. Temos o conjunto
definido por todas as tuplas
que satisfazem a equação
. O que a gente precisa fazer aqui é:
- Parte (i): Encontrar uma base ortonormal para o subespaço
. - Parte (ii): Para qualquer vetor
em , decompor ele em duas partes: uma que está em e outra que está no complemento ortogonal de , ou seja, .
Vamos precisar entender conceitos de subespaços, bases, ortogonalização e projeção ortogonal. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (i): encontrar uma base ortonormal para
.
Entendendo o Subespaço
:
A equação define um hiperplano em
. Isso significa que
é um subespaço de dimensão 3 (já que uma equação linear reduz a dimensão total em 1).
A equação
Encontrando uma Base para
:
Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para :
Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso nos dá três vetores que geram
:
Ortonormalizando a Base:
Agora, queremos que esses vetores não só gerem , mas também sejam ortonormais, ou seja, sejam mutuamente ortogonais e tenham norma 1.
Agora, queremos que esses vetores não só gerem
Vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar essa base.
Passo 3
Aplicando o Processo de Gram-Schmidt:
-
Primeiro Vetor (
):
Começamos com.
Normalizamos:Então, -
Segundo Vetor (
):
Pegamose a projetamos em : Calculando o produto interno:Então,Subtraindo a projeção de: Normalizamos: Então, -
Terceiro Vetor (
):
Agora, pegamose removemos as componentes nas direções de e : Calculando:Calculando:Subtraindo as projeções de: Simplificando:Calculando a norma:Então,
Passo 4
Agora, combinando tudo, nossa base ortonormal para
é composta pelos vetores
,
e
que encontramos:
Esses vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1, então eles formam uma base ortonormal para
.
Passo 5
Agora vamos para a parte (ii): Dado um vetor
, queremos encontrar vetores
e
tais que
.
Entendendo a Decomposição:
Todo vetor no espaço pode ser decomposto em uma soma de um vetor no subespaço
e outro no complemento ortogonal de
, ou seja,
.
Todo vetor
Propriedades Importantes:
-
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em . - A decomposição é única.
Como Encontrar
e
:
-
Encontrar a Projeção de
em :
A projeção ortogonal deem nos dará o vetor . -
Encontrar
:
Subtraímos a projeção deem de para obter .
Fórmula da Projeção:
Se temos uma base ortonormal para
, a projeção de
em
é:
Se temos uma base ortonormal
Então,
e
.
Passo 6
Aplicando a Fórmula:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Passos Detalhados:
- Passo 1: Calcular
. - Passo 2: Multiplicar o resultado por
. - Passo 3: Repetir para
e . - Passo 4: Somar todas as projeções para obter
. - Passo 5: Subtrair
de para encontrar .
Exemplo:
Vamos supor que .
Vamos supor que
-
Calculando cada componente:
-
Calculando
: -
Calculando
:
Esse processo nos dá os vetores
em
e
em
.
Resposta
(i) Uma base ortonormal de
é formada pelos vetores
(ii) Dado
, os vetores
e
que satisfazem
são:
Exercícios relacionados
Seja
. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
?
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Sejam
e
vetores em
. Quais dos vetores
e
são combinações lineares dos vetores
e
?
Fazendo uso do produto interno usual em
. Calcule o produto interno entre os vetores
.
Seja V um espaço vetorial real munido de um produto interno e sejam
. Considere as seguintes relações envolvendo o produto interno e a norma em V:
(A)
(I) ;
(B)
(II) ;
©
(III) .
Assinale a alternativa contendo equivalências corretas:
(a) (III),
(B) (II),
© .
(b) ( (A)
(II),
(B) ,
© (III).
© ,
(B) (III),
© (II).
(d) ( (A)
(II),
(B) (III),
© (I).
(e) ,
(B) (II),
© (III).
(A)
(I)
(B)
(II)
©
(III)
Assinale a alternativa contendo equivalências corretas:
(a)
(B)
©
(b) (
(B)
©
©
(B)
©
(d) (
(B)
©
(e)
(B)
©