Considere em o produto interno usual e seja
(i) Determine uma base ortonormal de S .
(ii) Dado , encontre vetores e tais que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente está trabalhando no espaço com o produto interno usual. Temos o conjunto definido por todas as tuplas que satisfazem a equação . O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Parte (i): Encontrar uma base ortonormal para o subespaço .
  2. Parte (ii): Para qualquer vetor em , decompor ele em duas partes: uma que está em e outra que está no complemento ortogonal de , ou seja, .
Vamos precisar entender conceitos de subespaços, bases, ortogonalização e projeção ortogonal. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (i): encontrar uma base ortonormal para .
Entendendo o Subespaço :
A equação define um hiperplano em . Isso significa que é um subespaço de dimensão 3 (já que uma equação linear reduz a dimensão total em 1).
Encontrando uma Base para :
Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso nos dá três vetores que geram :
Ortonormalizando a Base:
Agora, queremos que esses vetores não só gerem , mas também sejam ortonormais, ou seja, sejam mutuamente ortogonais e tenham norma 1.
Vamos usar o Processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar essa base.

Passo 3

Aplicando o Processo de Gram-Schmidt:
  1. Primeiro Vetor ( ):
    Começamos com .
    Normalizamos:
    Então,
  2. Segundo Vetor ( ):
    Pegamos e a projetamos em :
    Calculando o produto interno:
    Então,
    Subtraindo a projeção de :
    Normalizamos :
    Então,
  3. Terceiro Vetor ( ):
    Agora, pegamos e removemos as componentes nas direções de e :
    Calculando:
    Calculando:
    Subtraindo as projeções de :
    Simplificando:
    Calculando a norma:
    Então,

Passo 4

Agora, combinando tudo, nossa base ortonormal para é composta pelos vetores , e que encontramos:
Esses vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1, então eles formam uma base ortonormal para .

Passo 5

Agora vamos para a parte (ii): Dado um vetor , queremos encontrar vetores e tais que .
Entendendo a Decomposição:
Todo vetor no espaço pode ser decomposto em uma soma de um vetor no subespaço e outro no complemento ortogonal de , ou seja, .
Propriedades Importantes:
  • é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a todos os vetores em .
  • A decomposição é única.
Como Encontrar e :
  1. Encontrar a Projeção de em :
    A projeção ortogonal de em nos dará o vetor .
  2. Encontrar :
    Subtraímos a projeção de em de para obter .
Fórmula da Projeção:
Se temos uma base ortonormal para , a projeção de em é:
Então, e .

Passo 6

Aplicando a Fórmula:
  1. Calculando :
  2. Calculando :
Passos Detalhados:
  • Passo 1: Calcular .
  • Passo 2: Multiplicar o resultado por .
  • Passo 3: Repetir para e .
  • Passo 4: Somar todas as projeções para obter .
  • Passo 5: Subtrair de para encontrar .
Exemplo:
Vamos supor que .
  • Calculando cada componente:
  • Calculando :
  • Calculando :
Esse processo nos dá os vetores em e em .

Resposta

(i) Uma base ortonormal de é formada pelos vetores
(ii) Dado , os vetores e que satisfazem são:

Exercícios relacionados

Seja . Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de ?
a)
b)
c)
Sejam e vetores em . Quais dos vetores e são combinações lineares dos vetores e ?
Fazendo uso do produto interno usual em . Calcule o produto interno entre os vetores .
Seja V um espaço vetorial real munido de um produto interno e sejam . Considere as seguintes relações envolvendo o produto interno e a norma em V:
(A)
(I) ;
(B)
(II) ;
©
(III) .
Assinale a alternativa contendo equivalências corretas:
(a) (III),
(B) (II),
© .
(b) ( (A) (II),
(B) ,
© (III).
© ,
(B) (III),
© (II).
(d) ( (A) (II),
(B) (III),
© (I).
(e) ,
(B) (II),
© (III).