Mostre, usando a definição de função contínua, que f(x) = 2x + 3 é contínua em x = 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função é contínua em usando a definição de função contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e usar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se três condições forem satisfeitas:
  1. A função está definida em : ou seja, existe.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar essas condições para mostrar que é contínua em .

Passo 3

1. A função está definida em :
Vamos calcular :
Então, existe e é igual a 13.

Passo 4

2. O limite de quando se aproxima de 5 existe:
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 5:
Como é uma função linear (uma reta), sabemos que o limite dela quando se aproxima de qualquer ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto,
Então, o limite existe e é igual a 13.

Passo 5

3. O limite é igual a :
Comparando o limite que calculamos com :
Como os dois são iguais, a terceira condição para continuidade está satisfeita.

Resposta

Portanto, usando a definição de função contínua, mostramos que é contínua em .

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Enuncie precisamente o Teorema do Anulamento e o Teorema de Weierstrass
Considere f(x) = { x^2 sen(1/x) se x ≠ 0; 0 se x = 0 } Decida se f é contínua em p = 0.
Seja L um número real. Defina precisamente o símbolo lim x -infty f(x)=L.
Seja g(x) = x^3 - 4x + 8. Existe algum número real p tal que g(p)=0 ? Considere a função f:[0,10] -> R, f(x)=g(x). A função f assume valor máximo? Porquê?