Mostre, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função
é contínua em
usando a definição de função contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e usar essa definição passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
- A função está definida em
: ou seja, existe. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar essas condições para mostrar que
é contínua em
.
Passo 3
1. A função está definida em
:
Vamos calcular
:
Então,
existe e é igual a 13.
Passo 4
2. O limite de
quando
se aproxima de 5 existe:
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 5:
Como
é uma função linear (uma reta), sabemos que o limite dela quando
se aproxima de qualquer ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto,
Então, o limite existe e é igual a 13.
Passo 5
3. O limite é igual a
:
Comparando o limite que calculamos com
:
Como os dois são iguais, a terceira condição para continuidade está satisfeita.
Resposta
Portanto, usando a definição de função contínua, mostramos que
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Enuncie precisamente o Teorema do Anulamento e o Teorema de Weierstrass
Considere
Decida se
é contínua em
.
Seja
um número real. Defina precisamente o símbolo
.
Seja
. Existe algum número real
tal que
? Considere a função
. A função
assume valor máximo? Porquê?