Seja
um número real. Defina precisamente o símbolo
.
Passo 1
Então, a gente tem uma expressão matemática que diz:
. O que a gente precisa fazer aqui é definir exatamente o que isso significa. Isso faz parte do estudo de limites em funções, especificamente o limite quando a variável
vai para menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como formalizar essa definição usando conceitos básicos de matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função quando
vai para menos infinito. Basicamente, a gente quer dizer que, conforme
fica cada vez menor (mais negativo), os valores de
se aproximam de algum número real
. Para definir isso de forma precisa, usamos a definição
-
, que ajuda a descrever essa aproximação.
Passo 3
A definição
-
para o limite quando
vai para menos infinito funciona assim: para qualquer
que você escolher (esse é um número positivo que representa a margem de erro que a gente aceita), existe um número real
tal que, sempre que
for menor que
(lembra que estamos indo para menos infinito, então
fica cada vez menor), a diferença entre
e
será menor que
. Em outras palavras,
estará dentro de uma faixa de
de tamanho
.
Passo 4
Vamos colocar isso em uma fórmula matemática para ficar bem claro. A definição fica da seguinte forma:
Para todo
, existe um número real
tal que, se
, então
.
Isso quer dizer que, independente de quão perto a gente quer que
esteja de
(definido por
), a gente consegue encontrar um
que faz isso acontecer quando
fica menor que
.
Resposta
A definição precisa de
é:
Para todo número real positivo
, existe um número real
tal que, sempre que
, temos
.
Exercícios relacionados
Mostre, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
.
Enuncie precisamente o Teorema do Anulamento e o Teorema de Weierstrass
Seja
. Existe algum número real
tal que
? Considere a função
. A função
assume valor máximo? Porquê?
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