Seja L um número real. Defina precisamente o símbolo lim x -infty f(x)=L.

Passo 1

Então, a gente tem uma expressão matemática que diz: lim x -infty f(x) = L. O que a gente precisa fazer aqui é definir exatamente o que isso significa. Isso faz parte do estudo de limites em funções, especificamente o limite quando a variável x vai para menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como formalizar essa definição usando conceitos básicos de matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função quando x vai para menos infinito. Basicamente, a gente quer dizer que, conforme x fica cada vez menor (mais negativo), os valores de f(x) se aproximam de algum número real L. Para definir isso de forma precisa, usamos a definição epsilon- N, que ajuda a descrever essa aproximação.

Passo 3

A definição epsilon- N para o limite quando x vai para menos infinito funciona assim: para qualquer epsilon > 0 que você escolher (esse é um número positivo que representa a margem de erro que a gente aceita), existe um número real N tal que, sempre que x for menor que N (lembra que estamos indo para menos infinito, então x fica cada vez menor), a diferença entre f(x) e L será menor que epsilon. Em outras palavras, f(x) estará dentro de uma faixa de L de tamanho epsilon.

Passo 4

Vamos colocar isso em uma fórmula matemática para ficar bem claro. A definição fica da seguinte forma:
Para todo epsilon > 0, existe um número real N tal que, se x < N, então |f(x) - L| < epsilon.
Isso quer dizer que, independente de quão perto a gente quer que f(x) esteja de L (definido por epsilon), a gente consegue encontrar um N que faz isso acontecer quando x fica menor que N.

Resposta

A definição precisa de lim x -infty f(x) = L é:
Para todo número real positivo epsilon > 0, existe um número real N tal que, sempre que x < N, temos |f(x) - L| < epsilon.

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