Seja f: [0, 2] -> R uma função contínua tal que f(0) = f(2) = 0 e f(1) > 0. Prove que existe pelo menos um número real c no intervalo 0,1 tal que f(c) = f(c + 1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função contínua definida no intervalo com as condições e . O objetivo é provar que existe pelo menos um número real no intervalo tal que .
Para resolver isso, vamos utilizar teoremas da continuidade, especialmente o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de certos valores intermediários quando trabalhamos com funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma nova função que nos ajude a relacionar e . Vamos chamar essa função de :
Queremos encontrar tal que , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos analisar o intervalo onde varia. Como queremos no intervalo , isso significa que estará no intervalo . Portanto, estamos comparando os valores de em pontos que estão “espelhados” em relação a 1.

Passo 4

Vamos calcular os valores de nos extremos do intervalo e :
  • Para :
    Sabemos que e , então:
  • Para :
    Sabemos que , então:

Passo 5

Além disso, a função é contínua no intervalo porque é a diferença de duas funções contínuas e . A continuidade de garante a continuidade de .

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
Como e , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em tal que .

Resposta

Portanto, existe pelo menos um número real no intervalo tal que .

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