Seja
uma função contínua tal que
e
. Prove que existe pelo menos um número real
no intervalo
tal que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função contínua
definida no intervalo
com as condições
e
. O objetivo é provar que existe pelo menos um número real
no intervalo
tal que
.
Para resolver isso, vamos utilizar teoremas da continuidade, especialmente o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de certos valores intermediários quando trabalhamos com funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma nova função que nos ajude a relacionar
e
. Vamos chamar essa função de
:
Queremos encontrar
tal que
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o intervalo onde
varia. Como queremos
no intervalo
, isso significa que
estará no intervalo
. Portanto, estamos comparando os valores de
em pontos que estão “espelhados” em relação a 1.
Passo 4
Vamos calcular os valores de
nos extremos do intervalo
e
:
-
Para
: Sabemos quee , então: -
Para
: Sabemos que, então:
Passo 5
Além disso, a função
é contínua no intervalo
porque é a diferença de duas funções contínuas
e
. A continuidade de
garante a continuidade de
.
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
Como
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
em
tal que
.
Resposta
Portanto, existe pelo menos um número real
no intervalo
tal que
.
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centradas na origem, onde
.
37. A região constituida em todos os pontos entre (mas não sobre) as esferas de raio
Use a Regra da Cadeia para calcular
ou
no ponto indicado
Seja
um número real tal que
. Seja
a função, de domínio
, definida por
. Mostre que a função
tem, pelo menos, um zero no intervalo
.