Escreva inequações para descrever a região dada.
37. A região constituida em todos os pontos entre (mas não sobre) as esferas de raio
e
centradas na origem, onde
.
37. A região constituida em todos os pontos entre (mas não sobre) as esferas de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever inequações que descrevem uma região específica no espaço. A gente está falando de pontos que estão entre duas esferas, mas não sobre elas. As esferas têm raios
e
, sendo que
, e ambas estão centradas na origem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre a equação de uma esfera e como representar regiões entre elas usando inequações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma esfera no espaço tridimensional. Uma esfera centrada na origem (0, 0, 0) com raio
é descrita por:
Aqui,
,
e
são as coordenadas de qualquer ponto na superfície da esfera.
Passo 3
Como queremos todos os pontos entre as esferas de raio
e
, mas não sobre elas, precisamos considerar as distâncias desses pontos à origem. A distância de um ponto
à origem é dada por:
Queremos que essa distância seja maior que
e menor que
. Em termos matemáticos, isso se traduz em duas inequações:
Passo 4
Para simplificar, podemos combinar essas duas inequações em uma única expressão que engloba as duas condições simultaneamente. Assim, a região que estamos descrevendo é onde:
Resposta
As inequações que descrevem a região entre as esferas são:
Exercícios relacionados
Seja
a função, de domínio
, definida por
, e
a função, de domínio
, definida por
. Mostre, que
, tal que
.
Seja
uma função contínua tal que
e
. Prove que existe pelo menos um número real
no intervalo
tal que
Use a Regra da Cadeia para calcular
ou
no ponto indicado