Faça o que se pede nos itens a seguir:
(a) Determine
tal que
seja um corpo.
(b) Determine
tal que
seja um corpo.
(a) Determine
(b) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar certos valores de
em
e
que fazem com que certos quocientes de anéis sejam corpos. Um corpo é um conjunto onde você pode somar, subtrair, multiplicar e dividir (menos pela multiplicação por zero). Para resolver isso, vamos precisar entender quando um quociente de anéis é um corpo, o que envolve polinômios irredutíveis.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Queremos encontrar
tal que
seja um corpo. Primeiro, precisamos saber quando um quociente como esse é um corpo. Isso acontece se e somente se o polinômio
for irredutível sobre
. Um polinômio é irredutível se ele não puder ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes em
.
Passo 3
Vamos testar todos os possíveis valores de
em
, ou seja,
.
- Para
: O polinômio é . Esse polinômio pode ser fatorado como , então não é irredutível. - Para
: O polinômio é . Vamos ver se ele tem raízes em : - Para
: - Para
: - Para
:
Como não tem raízes,não pode ser fatorado, então é irredutível.
- Para
- Para
: O polinômio é . Vamos ver as raízes: - Para
: - Para
: -
é raiz, então , não é irredutível.
- Para
Passo 4
Concluímos que apenas para
, o polinômio
é irredutível em
, fazendo com que
seja um corpo.
Resposta
(a) O valor de
é
.