Faça o que se pede nos itens a seguir:
(a) Determine a em Z3 tal que Z3 / <x^2 + a> seja um corpo.
(b) Determine a in Z_5 tal que Z5 / <1 + a x + x^2> seja um corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar certos valores de em e que fazem com que certos quocientes de anéis sejam corpos. Um corpo é um conjunto onde você pode somar, subtrair, multiplicar e dividir (menos pela multiplicação por zero). Para resolver isso, vamos precisar entender quando um quociente de anéis é um corpo, o que envolve polinômios irredutíveis.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). Queremos encontrar tal que seja um corpo. Primeiro, precisamos saber quando um quociente como esse é um corpo. Isso acontece se e somente se o polinômio for irredutível sobre . Um polinômio é irredutível se ele não puder ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes em .

Passo 3

Vamos testar todos os possíveis valores de em , ou seja, .
  1. Para : O polinômio é . Esse polinômio pode ser fatorado como , então não é irredutível.
  2. Para : O polinômio é . Vamos ver se ele tem raízes em :
    • Para :
    • Para :
    • Para :
      Como não tem raízes, não pode ser fatorado, então é irredutível.
  3. Para : O polinômio é . Vamos ver as raízes:
    • Para :
    • Para :
    • é raiz, então , não é irredutível.

Passo 4

Concluímos que apenas para , o polinômio é irredutível em , fazendo com que seja um corpo.

Resposta

(a) O valor de é .

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