Sejam D um domínio e p in D um elemento irredutível. Então, o polinômio f(x) = p em D[x] é um elemento irredutível em D[x].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão diz que temos um domínio e um elemento que é irredutível em . Queremos mostrar que o polinômio em também é irredutível. Aqui, estamos lidando com álgebra abstrata, mais especificamente com domínios de inteiros e irreducibilidade de elementos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento ser irredutível tanto em quanto em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um domínio de integridade. Um domínio de integridade é um anel comutativo com identidade onde não existem divisores de zero. Ou seja, se , então ou ou . Isso é importante porque garante que a multiplicação funciona de maneira “esperada” sem complicações de elementos que dão zero sem serem zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre elementos irredutíveis. Em um domínio , um elemento é irredutível se ele não pode ser escrito como o produto de dois elementos não invertíveis em . Em outras palavras, se , então ou ou deve ser um elemento invertível (uma espécie de “unidade”) em .

Passo 4

Queremos provar que o polinômio em é também irredutível. Para isso, vamos usar a definição de irreducibilidade em . Um polinômio é irredutível em se ele não pode ser fatorado em dois polinômios não invertíveis de .

Passo 5

Vamos supor que pode ser fatorado em , onde e são polinômios em . Como é constante, tanto quanto também devem ser constantes (do contrário, o grau de seria maior que zero).

Passo 6

Então, temos onde . Mas sabemos que é irredutível em , então ou ou deve ser invertível em . Isso significa que um dos polinômios ou é uma unidade em (ou seja, um polinômio invertível), o que confirma que não pode ser fatorado de forma não trivial em .

Resposta

Portanto, concluímos que o polinômio é um elemento irredutível em .

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