Sejam
um domínio e
um elemento irredutível. Então, o polinômio
é um elemento irredutível em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão diz que temos um domínio
e um elemento
que é irredutível em
. Queremos mostrar que o polinômio
em
também é irredutível. Aqui, estamos lidando com álgebra abstrata, mais especificamente com domínios de inteiros e irreducibilidade de elementos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um elemento ser irredutível tanto em
quanto em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um domínio de integridade. Um domínio de integridade é um anel comutativo com identidade onde não existem divisores de zero. Ou seja, se
, então ou
ou
. Isso é importante porque garante que a multiplicação funciona de maneira “esperada” sem complicações de elementos que dão zero sem serem zero.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre elementos irredutíveis. Em um domínio
, um elemento
é irredutível se ele não pode ser escrito como o produto de dois elementos não invertíveis em
. Em outras palavras, se
, então ou
ou
deve ser um elemento invertível (uma espécie de “unidade”) em
.
Passo 4
Queremos provar que o polinômio
em
é também irredutível. Para isso, vamos usar a definição de irreducibilidade em
. Um polinômio é irredutível em
se ele não pode ser fatorado em dois polinômios não invertíveis de
.
Passo 5
Vamos supor que
pode ser fatorado em
, onde
e
são polinômios em
. Como
é constante, tanto
quanto
também devem ser constantes (do contrário, o grau de
seria maior que zero).
Passo 6
Então, temos
onde
. Mas sabemos que
é irredutível em
, então ou
ou
deve ser invertível em
. Isso significa que um dos polinômios
ou
é uma unidade em
(ou seja, um polinômio invertível), o que confirma que
não pode ser fatorado de forma não trivial em
.
Resposta
Portanto, concluímos que o polinômio
é um elemento irredutível em
.