Seja uma função. Mostre que , para todo se, somente se, é injetiva.

Passo 1

Beleza! O exercício fala sobre funções e como elas se comportam em relação a conjuntos. Precisamos provar que para todo conjunto se, e somente se, a função for injetiva. Para isso, vamos usar conceitos de funções injetivas e operações de imagem e pré-imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetiva. Uma função é injetiva se cada elemento de é mapeado por, no máximo, um elemento de . Em outras palavras, se , então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos entender o que são e . Para um conjunto :
  • Imagem de por :
    Isso significa que pegamos todos os elementos de e os aplicamos na função .
  • Pré-imagem de :
    Aqui, estamos coletando todos os elementos de que, quando passados por , resultam em algum elemento de .

Passo 4

Primeira parte: Mostrar que se é injetiva, então .
Se é injetiva, cada elemento de vem de exatamente um elemento em . Portanto:
  1. Inclusão :
    • Qualquer claramente está em porque .
  2. Inclusão :
    • Se , então . Como é injetiva, isso significa que deve ser o único elemento em que mapeia para , ou seja, .
Assim, .

Passo 5

Segunda parte: Mostrar que se para todo , então é injetiva.
Vamos provar por contraposição. Suponha que não seja injetiva. Então, existem com e .
Considere o conjunto . Então:
E:
Mas , o que é uma contradição. Portanto, deve ser injetiva.

Resposta

Concluímos que para todo se, e somente se, a função é injetiva.

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Resolver as seguintes equações homogêneas .
Usando a Regra da Cadeia, calcule , sendo dadas:
Obtenha , sendo dada por: ;