Seja
uma função. Mostre que
, para todo
se, somente se,
é injetiva.
Passo 1
Beleza! O exercício fala sobre funções e como elas se comportam em relação a conjuntos. Precisamos provar que
para todo conjunto
se, e somente se, a função
for injetiva. Para isso, vamos usar conceitos de funções injetivas e operações de imagem e pré-imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetiva. Uma função
é injetiva se cada elemento de
é mapeado por, no máximo, um elemento de
. Em outras palavras, se
, então necessariamente
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que são
e
. Para um conjunto
:
-
Imagem de
por : Isso significa que pegamos todos os elementos dee os aplicamos na função . -
Pré-imagem de
: Aqui, estamos coletando todos os elementos deque, quando passados por , resultam em algum elemento de .
Passo 4
Primeira parte: Mostrar que se
é injetiva, então
.
Se
é injetiva, cada elemento de
vem de exatamente um elemento em
. Portanto:
-
Inclusão
: - Qualquer
claramente está em porque .
- Qualquer
-
Inclusão
: - Se
, então . Como é injetiva, isso significa que deve ser o único elemento em que mapeia para , ou seja, .
- Se
Assim,
.
Passo 5
Segunda parte: Mostrar que se
para todo
, então
é injetiva.
Vamos provar por contraposição. Suponha que
não seja injetiva. Então, existem
com
e
.
Considere o conjunto
. Então:
E:
Mas
, o que é uma contradição. Portanto,
deve ser injetiva.
Resposta
Concluímos que
para todo
se, e somente se, a função
é injetiva.
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações homogêneas
.
Usando a Regra da Cadeia, calcule
, sendo dadas:
Obtenha
, sendo
dada por:
;