Se z^2=x^2+y, d/dt x=2 e d/dt y=3, encontre d z / d t quando x = 5 e y = 12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos aqui está na área de cálculo diferencial, mais especificamente lidando com derivadas relacionadas. A gente precisa encontrar a taxa de variação de em relação ao tempo ( ) quando e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação que temos: . Nosso objetivo é achar , e para isso, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo .

Passo 3

Vamos derivar cada termo:
  • A derivada de com respeito a usando a regra da cadeia é .
  • A derivada de com respeito a também usando a regra da cadeia é .
  • A derivada de com respeito a é simplesmente .
Então, após a derivação, nossa equação fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por :

Passo 5

Precisamos encontrar quando e . Voltando à equação original :

Passo 6

Agora, substituímos todos os valores conhecidos na fórmula de :
Então:

Resposta

A taxa de variação de em relação ao tempo é .

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