, encontre
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos aqui está na área de cálculo diferencial, mais especificamente lidando com derivadas relacionadas. A gente precisa encontrar a taxa de variação de
em relação ao tempo (
) quando
e
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação que temos:
. Nosso objetivo é achar
, e para isso, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo:
- A derivada de
com respeito a usando a regra da cadeia é . - A derivada de
com respeito a também usando a regra da cadeia é . - A derivada de
com respeito a é simplesmente .
Então, após a derivação, nossa equação fica:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por
:
Passo 5
Precisamos encontrar
quando
e
. Voltando à equação original
:
Passo 6
Agora, substituímos todos os valores conhecidos na fórmula de
:
Então:
Resposta
A taxa de variação de
em relação ao tempo é
.
Exercícios relacionados
Classifique as equações diferenciais a seguir dizendo se são lineares ou não-lineares. Dê também a ordem de cada equação.
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(d)
(i)
(e)
(j)
(f)
Calcular
onde
é a interseção do paraboloide
com o plano
sendo que o sentido do percurso de
deve ser tal que a projeção de
no plano xy seja anti-horário.
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Seja
um campo vetorial em
. Justifique a igualdade
onde
, e
.