Calcule. lim x 0 x+sen xx^2-sen x

Passo 1

Vamos lá, o enunciado pede para calcular o limite quando x se aproxima de 0 da expressão x + sen xx^2 - sen x. O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre limites em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades das funções e, principalmente, como se comportam as funções senoidais perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x por 0 na expressão para ver o que acontece. Temos:
0 + sen(0)0^2 - sen(0)
Sabemos que sen(0) = 0, então isso fica:
0 + 00 - 0 = 00
Esse resultado é indeterminado, ou seja, não conseguimos descobrir o valor do limite só com essa substituição. Nós vamos precisar usar a regra de L’Hôpital ou simplificar a expressão.

Passo 3

A regra de L’Hôpital é uma técnica que usamos quando obtemos uma indeterminação do tipo 00. Para aplicá-la, derivamos o numerador e o denominador separadamente. Vamos fazer isso:
  • O numerador x + sen x derivando dá:
ddx(x + sen x) = 1 + cos x
  • O denominador x^2 - sen x derivando dá:
ddx(x^2 - sen x) = 2x - cos x
Agora podemos reescrever o limite usando as derivadas que encontramos:
lim x 0 1 + cos x2x - cos x

Passo 4

Agora, vamos substituir x por 0 de novo:
1 + cos(0)2(0) - cos(0) = 1 + 10 - 1 = 2-1 = -2

Resposta

Portanto, o limite que buscamos é -2.

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