Calcule.
Passo 1
Vamos lá, o enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre limites em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades das funções e, principalmente, como se comportam as funções senoidais perto de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por 0 na expressão para ver o que acontece. Temos:
Sabemos que
, então isso fica:
Esse resultado é indeterminado, ou seja, não conseguimos descobrir o valor do limite só com essa substituição. Nós vamos precisar usar a regra de L’Hôpital ou simplificar a expressão.
Passo 3
A regra de L’Hôpital é uma técnica que usamos quando obtemos uma indeterminação do tipo
. Para aplicá-la, derivamos o numerador e o denominador separadamente. Vamos fazer isso:
- O numerador
derivando dá:
- O denominador
derivando dá:
Agora podemos reescrever o limite usando as derivadas que encontramos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
por 0 de novo:
Resposta
Portanto, o limite que buscamos é
.
Exercícios relacionados
Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
L. Calcule
Seja
definida
. Suponha que
. Calcule
Calcule.
Seja
definida
. Suponha que
. Calcule