Calcule.

Passo 1

Vamos lá, o enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre limites em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades das funções e, principalmente, como se comportam as funções senoidais perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por 0 na expressão para ver o que acontece. Temos:
Sabemos que , então isso fica:
Esse resultado é indeterminado, ou seja, não conseguimos descobrir o valor do limite só com essa substituição. Nós vamos precisar usar a regra de L’Hôpital ou simplificar a expressão.

Passo 3

A regra de L’Hôpital é uma técnica que usamos quando obtemos uma indeterminação do tipo . Para aplicá-la, derivamos o numerador e o denominador separadamente. Vamos fazer isso:
  • O numerador derivando dá:
  • O denominador derivando dá:
Agora podemos reescrever o limite usando as derivadas que encontramos:

Passo 4

Agora, vamos substituir por 0 de novo:

Resposta

Portanto, o limite que buscamos é .

Exercícios relacionados

Seja definida em e seja um real dado. Suponha que L. Calcule
Seja definida . Suponha que . Calcule
Calcule.
Seja definida . Suponha que . Calcule