Seja
uma função derivável num ponto
. Calcule
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos uma função
que é derivável em um ponto
positivo. Precisamos calcular o limite
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites, além de racionalizar a expressão para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, observamos que o denominador
pode ser difícil de lidar diretamente. Uma técnica útil para simplificar expressões com raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Passo 3
Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado, temos:
Passo 4
Agora, note que
é a definição da derivada de
no ponto
, ou seja,
. Então podemos reescrever a expressão como:
Passo 5
Finalmente, ao calcular o limite quando
se aproxima de
, a expressão
se aproxima de
. Portanto, o limite é: