Seja f uma função derivável num ponto p in(0,+infty). Calcule lim x p f(x)-f(p)raizx-raizp.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos uma função f que é derivável em um ponto p positivo. Precisamos calcular o limite lim x p f(x)-f(p)raizx-raizp. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites, além de racionalizar a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador raizx - raizp pode ser difícil de lidar diretamente. Uma técnica útil para simplificar expressões com raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de raizx - raizp é raizx + raizp.

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado, temos:
f(x) - f(p)raizx - raizp cdot raizx + raizpraizx + raizp = (f(x) - f(p)) (raizx + raizp)x - p

Passo 4

Agora, note que f(x) - f(p)x - p é a definição da derivada de f no ponto p, ou seja, f'(p). Então podemos reescrever a expressão como:
f'(p) (raizx + raizp)1

Passo 5

Finalmente, ao calcular o limite quando x se aproxima de p, a expressão raizx + raizp se aproxima de 2raizp. Portanto, o limite é:
f'(p) cdot 2raizp

Resposta

lim x p f(x)-f(p)raizx-raizp = 2 raizp cdot f'(p)

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