Seja uma função derivável num ponto . Calcule .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão nos pede. Temos uma função que é derivável em um ponto positivo. Precisamos calcular o limite . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites, além de racionalizar a expressão para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, observamos que o denominador pode ser difícil de lidar diretamente. Uma técnica útil para simplificar expressões com raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado, temos:

Passo 4

Agora, note que é a definição da derivada de no ponto , ou seja, . Então podemos reescrever a expressão como:

Passo 5

Finalmente, ao calcular o limite quando se aproxima de , a expressão se aproxima de . Portanto, o limite é:

Resposta

Exercícios relacionados

Se descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo (em segundos), calcule sua velocidade no instante dado, usando a fórmula :
(a) e
(b) e
© e .
Determine o maior conjunto que pode ser domínio das seguintes funções reais:
Determine e nos seguintes casos:
(a)
(b)
©
(d) .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto , sendo dados:
(a) e
(b) e
© e
(d) e .