Se
descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo
(em segundos), calcule sua velocidade no instante
dado, usando a fórmula
:
(a)
e
(b)
e
©
e
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente tem uma função
que representa a posição de um objeto em metros no tempo
em segundos. A missão é calcular a velocidade desse objeto em um instante específico
usando a definição de velocidade instantânea, que é basicamente a derivada da posição em relação ao tempo. Para isso, vamos usar a fórmula:
Vamos resolver as três partes do exercício uma por uma, explicando cada passo para ficar bem tranquilo de entender.
Passo 2
Parte (a):
e
Primeiro, substituímos os valores na fórmula da velocidade:
Agora, vamos simplificar o numerador. Perceba que
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Substituindo na expressão da velocidade:
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e denominador:
Finalmente, substituímos
por 4:
Passo 3
Parte (b):
e
Vamos aplicar a fórmula da velocidade:
Para facilitar, vamos simplificar o numerador:
Substituindo de volta na expressão da velocidade:
Agora, cancelamos o
:
Substituindo
por 1:
Passo 4
Parte ©:
e
Aplicando a fórmula da velocidade:
Sabemos que
, então a expressão fica:
Para resolver esse limite, podemos lembrar que:
Isso porque o numerador
tende a 0 mais rápido que o denominador
à medida que
se aproxima de 0. Portanto:
Resposta
(a) A velocidade no instante
é
.
(b) A velocidade no instante
é
.
© A velocidade no instante
é
.
Exercícios relacionados
Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
Determine o maior conjunto
que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;
Seja
uma função derivável num ponto
. Calcule
.
Determine
e
nos seguintes casos:
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)