Se s(t) descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo t (em segundos), calcule sua velocidade no instante t0 dado, usando a fórmula v(t0)=lim t t0 s(t)-s(t0)t-t0 :
(a) s(t)=t^2 e t0=4
(b) s(t)=t^-2 e t0=1
© s(t)=cos t e t0=0.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente tem uma função v(t0) = limt to t0 s(t) - s(t0)t - t0 que representa a posição de um objeto em metros no tempo em segundos. A missão é calcular a velocidade desse objeto em um instante específico usando a definição de velocidade instantânea, que é basicamente a derivada da posição em relação ao tempo. Para isso, vamos usar a fórmula:
Vamos resolver as três partes do exercício uma por uma, explicando cada passo para ficar bem tranquilo de entender.

Passo 2

Parte (a): v(4) = limt to 4 t^2 - 4^2t - 4 = limt to 4 t^2 - 16t - 4 e t^2 - 16 = (t + 4)(t - 4)
Primeiro, substituímos os valores na fórmula da velocidade:
v(4) = limt to 4 (t + 4)(t - 4)t - 4
Agora, vamos simplificar o numerador. Perceba que v(4) = limt to 4 (t + 4) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
v(4) = 4 + 4 = 8 , m/s
Substituindo na expressão da velocidade:
Agora, podemos cancelar o termo no numerador e denominador:
Finalmente, substituímos por 4:

Passo 3

Parte (b): v(1) = limt to 1 t^-2 - 1^-2t - 1 = limt to 1 1t^2 - 1t - 1 e 1t^2 - 1 = 1 - t^2t^2 = -(t^2 - 1)t^2 = -(t - 1)(t + 1)t^2
Vamos aplicar a fórmula da velocidade:
v(1) = limt to 1 -(t - 1)(t + 1)t^2(t - 1) = limt to 1 -(t + 1)t^2
Para facilitar, vamos simplificar o numerador:
v(1) = limt to 1 -(t + 1)t^2
Substituindo de volta na expressão da velocidade:
v(1) = -(1 + 1)1^2 = -21 = -2 , m/s
Agora, cancelamos o :
Substituindo por 1:

Passo 4

Parte ©: v(0) = limt to 0 cos t - cos 0t - 0 = limt to 0 cos t - 1t e v(0) = limt to 0 cos t - 1t
Aplicando a fórmula da velocidade:
limt to 0 cos t - 1t = 0
Sabemos que v(0) = 0 , m/s , então a expressão fica:
Para resolver esse limite, podemos lembrar que:
Isso porque o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador à medida que se aproxima de 0. Portanto:

Resposta

(a) A velocidade no instante é .
(b) A velocidade no instante é .
© A velocidade no instante é .

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