Se descreve a posição (em metros) de um objeto no tempo (em segundos), calcule sua velocidade no instante dado, usando a fórmula :
(a) e
(b) e
© e .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente tem uma função que representa a posição de um objeto em metros no tempo em segundos. A missão é calcular a velocidade desse objeto em um instante específico usando a definição de velocidade instantânea, que é basicamente a derivada da posição em relação ao tempo. Para isso, vamos usar a fórmula:
Vamos resolver as três partes do exercício uma por uma, explicando cada passo para ficar bem tranquilo de entender.

Passo 2

Parte (a): e
Primeiro, substituímos os valores na fórmula da velocidade:
Agora, vamos simplificar o numerador. Perceba que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Substituindo na expressão da velocidade:
Agora, podemos cancelar o termo no numerador e denominador:
Finalmente, substituímos por 4:

Passo 3

Parte (b): e
Vamos aplicar a fórmula da velocidade:
Para facilitar, vamos simplificar o numerador:
Substituindo de volta na expressão da velocidade:
Agora, cancelamos o :
Substituindo por 1:

Passo 4

Parte ©: e
Aplicando a fórmula da velocidade:
Sabemos que , então a expressão fica:
Para resolver esse limite, podemos lembrar que:
Isso porque o numerador tende a 0 mais rápido que o denominador à medida que se aproxima de 0. Portanto:

Resposta

(a) A velocidade no instante é .
(b) A velocidade no instante é .
© A velocidade no instante é .

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Determine o maior conjunto que pode ser domínio das seguintes funções reais:
Determine o maior conjunto que pode ser domínio das seguintes funções reais:
;
Seja uma função derivável num ponto . Calcule .
Determine e nos seguintes casos:
(a)
(b)
©
(d) .