Seja f a função, de domínio R^+, definida por f(x) = 2 + log_3(x), e g a função, de domínio R^+, definida por g(x) = x + f(x). Mostre, que existe c em (1,3), tal que g(c) = 5.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas para números reais positivos:
O objetivo é mostrar que existe um número no intervalo entre 1 e 3, ou seja, , tal que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função . Ela é definida como . A função logarítmica está bem definida para e é contínua nesse domínio. Portanto, também é contínua para .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Como é contínua e é uma função linear (também contínua), a soma delas, ou seja, , também é uma função contínua para .

Passo 4

Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário, precisamos calcular os valores de nos pontos extremos do intervalo, ou seja, em e :
  • Em :
  • Em :

Passo 5

Como é contínua no intervalo e e , pelo Teorema do Valor Intermediário, para qualquer valor entre 3 e 6, existe algum em tal que assume esse valor. Especificamente, para , que está entre 3 e 6, existe sim um número nesse intervalo que satisfaz a condição.

Resposta

Existe um valor no intervalo tal que .

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