Encontre o domínio das funções:
  1. f(x) = raiz(x + 5)
  2. f(x) = 1/(x^2 - 1)
  3. f(x) = raiz(x - 2) / (x^2 - x - 2)
  4. f(x) = 1 / raiz(-x^2 + x + 6)
  5. y = raiz(x^2 - 4)
  6. y = raiz(x^3 + 4*x^2 + x - 6)
  7. y = (3x^2 + 1) / (x^2 - 4)
  8. y = (3 x^2 + 1) / (x^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio de várias funções. Domínio basicamente significa todos os valores de que a função pode assumir sem causar problemas, como divisões por zero ou raízes de números negativos. Para resolver isso, precisamos entender como trabalhar com raízes quadradas e razões (divisões). Vamos analisar cada função uma por uma para descobrir quais valores de são permitidos.

Passo 2

Função 1:
Aqui temos uma raiz quadrada. Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo:

Passo 3

Função 2:
Nesta função, temos uma fração. O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida:
Fatorando:
Então:

Passo 4

Função 3:
Temos uma raiz quadrada e uma fração. Precisamos que:
  1. O que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
  2. O denominador não pode ser zero:
    Fatorando:
    Então:
Mas já sabemos que , então .

Passo 5

Função 4:
Aqui temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Precisamos que:
  1. O que está dentro da raiz seja positivo (não apenas maior ou igual, porque está no denominador): Multiplicando por -1 (e invertendo a desigualdade): Fatorando: Analisando os intervalos, encontramos:

Passo 6

Função 5:
Temos uma raiz quadrada. Precisamos que:
Resolvendo:
Os intervalos onde isso é verdadeiro são:

Passo 7

Função 6:
Com uma raiz cúbica dentro da raiz quadrada, precisamos que:
Para resolver, vamos tentar fatorar ou encontrar raízes:
Testando :
é
Fatorando:
Fatorando mais:
Analisando os intervalos, encontramos:
Simplificando:

Passo 8

Função 7:
Temos uma fração, então o denominador não pode ser zero:
Fatorando:
Então:

Passo 9

Função 8:
Nesta fração, o denominador nunca é zero, porque é sempre não negativo e adicionando 4, nunca teremos zero. Então, não há restrições quanto ao domínio:
íú

Resposta

  1. :
  2. : e
  3. :
  4. :
  5. : ou
  6. : ou
  7. : e
  8. : (todos os números reais)

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