Encontre o domínio das funções:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio de várias funções. Domínio basicamente significa todos os valores de
que a função pode assumir sem causar problemas, como divisões por zero ou raízes de números negativos. Para resolver isso, precisamos entender como trabalhar com raízes quadradas e razões (divisões). Vamos analisar cada função uma por uma para descobrir quais valores de
são permitidos.
Passo 2
Função 1:
Aqui temos uma raiz quadrada. Para que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Resolvendo:
Passo 3
Função 2:
Nesta função, temos uma fração. O denominador não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida:
Fatorando:
Então:
Passo 4
Função 3:
Temos uma raiz quadrada e uma fração. Precisamos que:
-
O que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
-
O denominador não pode ser zero:Fatorando:Então:
Mas já sabemos que
, então
.
Passo 5
Função 4:
Aqui temos uma fração com uma raiz quadrada no denominador. Precisamos que:
- O que está dentro da raiz seja positivo (não apenas maior ou igual, porque está no denominador):
Multiplicando por -1 (e invertendo a desigualdade): Fatorando: Analisando os intervalos, encontramos:
Passo 6
Função 5:
Temos uma raiz quadrada. Precisamos que:
Resolvendo:
Os intervalos onde isso é verdadeiro são:
Passo 7
Função 6:
Com uma raiz cúbica dentro da raiz quadrada, precisamos que:
Para resolver, vamos tentar fatorar ou encontrar raízes:
Testando
:
Fatorando:
Fatorando mais:
Analisando os intervalos, encontramos:
Simplificando:
Passo 8
Função 7:
Temos uma fração, então o denominador não pode ser zero:
Fatorando:
Então:
Passo 9
Função 8:
Nesta fração, o denominador
nunca é zero, porque
é sempre não negativo e adicionando 4, nunca teremos zero. Então, não há restrições quanto ao domínio:
Resposta
-
: -
: e -
: -
: -
: ou -
: ou -
: e -
: (todos os números reais)