Seja f: R* -> R a função dada por f(x) = x^2 + 1/x^2. Encontre o valor mínimo de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida para todos os números reais diferentes de zero. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mínimo dessa função. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde essa função atinge o mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o valor mínimo de uma função. O mínimo é o menor valor que a função consegue assumir. Para funções suaves como essa, a gente encontra esses pontos calculando a derivada e vendo onde ela é igual a zero – esses pontos são os candidatos a mínimos ou máximos.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada de é e a derivada de é . Então, a derivada da função é:

Passo 4

Agora, para encontrar os candidatos a mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para .

Passo 5

Vamos somar de ambos os lados:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:

Passo 7

Temos dois candidatos: e . Vamos verificar qual deles nos dá o valor mínimo da função.
Calculando :
Calculando :

Resposta

O valor mínimo da função é 2.

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