Seja
a função dada por
. Encontre o valor mínimo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida para todos os números reais diferentes de zero. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor mínimo dessa função. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para descobrir onde essa função atinge o mínimo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o valor mínimo de uma função. O mínimo é o menor valor que a função consegue assumir. Para funções suaves como essa, a gente encontra esses pontos calculando a derivada e vendo onde ela é igual a zero – esses pontos são os candidatos a mínimos ou máximos.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então, a derivada da função
é:
Passo 4
Agora, para encontrar os candidatos a mínimo, igualamos a derivada a zero:
Vamos resolver essa equação para
.
Passo 5
Vamos somar
de ambos os lados:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Passo 7
Temos dois candidatos:
e
. Vamos verificar qual deles nos dá o valor mínimo da função.
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
O valor mínimo da função
é 2.
Exercícios relacionados
Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
Seja
um número real tal que
. Qual o valor de
.
Seja
a função dada por
. Mostre que:
a) não é injetiva.
b) não é sobrejetiva.
a)
b)
Para as seguintes funções, determine se elas são injetivas, sobretivas ou bijetivas:
a) dada por
.
b) dada por
.
c) dada por
a)
b)
c)