Seja
a função dada por
. Mostre que:
a)
não é injetiva.
b)
não é sobrejetiva.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma função
definida por
. A tarefa é mostrar que:
a)
não é injetiva.
b)
não é sobrejetiva.
Vamos precisar entender os conceitos de função injetiva (onde cada valor de saída é mapeado por no máximo um valor de entrada) e função sobrejetiva (onde todo valor no conjunto de chegada tem pelo menos um valor no conjunto de partida que mapeia para ele).
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre injeção. Uma função é injetiva se, sempre que
, então
. Ou seja, não pode ter dois valores diferentes de
que dão o mesmo
.
Vamos ver se isso acontece com nossa função
.
Passo 3
Para mostrar que
não é injetiva, precisamos encontrar pelo menos dois valores diferentes de
que dão o mesmo
.
Vamos escolher
e
.
Calculando:
Aqui vemos que
, mas
. Portanto, encontramos dois valores diferentes de
que dão o mesmo
.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre sobrejeção. Uma função é sobrejetiva se, para todo
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um
em
tal que
.
Vamos ver se isso acontece com
.
Passo 5
Para mostrar que
não é sobrejetiva, precisamos encontrar pelo menos um valor em
que não pode ser obtido por nenhum
real através de
.
Vamos considerar o valor
.
Precisamos resolver
:
Mas
sempre é maior ou igual a zero para números reais, então não existe nenhum
real que satisfaça
.
Resposta
a) A função
não é injetiva.
b) A função
não é sobrejetiva.