Seja a função dada por . Mostre que:
a) não é injetiva.
b) não é sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma função definida por . A tarefa é mostrar que:
a) não é injetiva.
b) não é sobrejetiva.
Vamos precisar entender os conceitos de função injetiva (onde cada valor de saída é mapeado por no máximo um valor de entrada) e função sobrejetiva (onde todo valor no conjunto de chegada tem pelo menos um valor no conjunto de partida que mapeia para ele).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre injeção. Uma função é injetiva se, sempre que , então . Ou seja, não pode ter dois valores diferentes de que dão o mesmo .
Vamos ver se isso acontece com nossa função .

Passo 3

Para mostrar que não é injetiva, precisamos encontrar pelo menos dois valores diferentes de que dão o mesmo .
Vamos escolher e .
Calculando:
Aqui vemos que , mas . Portanto, encontramos dois valores diferentes de que dão o mesmo .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre sobrejeção. Uma função é sobrejetiva se, para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um em tal que .
Vamos ver se isso acontece com .

Passo 5

Para mostrar que não é sobrejetiva, precisamos encontrar pelo menos um valor em que não pode ser obtido por nenhum real através de .
Vamos considerar o valor .
Precisamos resolver :
Mas sempre é maior ou igual a zero para números reais, então não existe nenhum real que satisfaça .

Resposta

a) A função não é injetiva.
b) A função não é sobrejetiva.

Exercícios relacionados

Seja a função dada por . Encontre o valor mínimo de .
Determine se a função é contínua no número dado. Calcule e , se existirem, e determine se é derivável em .
Para as seguintes funções, determine se elas são injetivas, sobretivas ou bijetivas:
a) dada por .
b) dada por .
c) dada por
Seja função definida por . Podemos então concluir que:
a) é injetora, mas não sobrejetora;
b) é sobrejetora, mas não injetora;
c) é bijetora;
d) não é injetora nem sobrejetora;
e) a imagem de é .