Seja f: R -> R a função dada por f(x) = x^2 + 2. Mostre que:
a) f não é injetiva.
b) f não é sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma função definida por . A tarefa é mostrar que:
a) não é injetiva.
b) não é sobrejetiva.
Vamos precisar entender os conceitos de função injetiva (onde cada valor de saída é mapeado por no máximo um valor de entrada) e função sobrejetiva (onde todo valor no conjunto de chegada tem pelo menos um valor no conjunto de partida que mapeia para ele).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre injeção. Uma função é injetiva se, sempre que , então . Ou seja, não pode ter dois valores diferentes de que dão o mesmo .
Vamos ver se isso acontece com nossa função .

Passo 3

Para mostrar que não é injetiva, precisamos encontrar pelo menos dois valores diferentes de que dão o mesmo .
Vamos escolher e .
Calculando:
Aqui vemos que , mas . Portanto, encontramos dois valores diferentes de que dão o mesmo .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre sobrejeção. Uma função é sobrejetiva se, para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um em tal que .
Vamos ver se isso acontece com .

Passo 5

Para mostrar que não é sobrejetiva, precisamos encontrar pelo menos um valor em que não pode ser obtido por nenhum real através de .
Vamos considerar o valor .
Precisamos resolver :
Mas sempre é maior ou igual a zero para números reais, então não existe nenhum real que satisfaça .

Resposta

a) A função não é injetiva.
b) A função não é sobrejetiva.

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