Determine se a função f é contínua no número a dado. Calcule f_'(a) e f+’(a), se existirem, e determine se f é derivável em a.
a = 1 ; f(x) = { x^3 se x <= 1 ; x + 1 se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E o ponto de interesse é . A gente precisa verificar:
  1. Se a função é contínua em .
  2. Calcular as derivadas laterais em , ou seja, e , se existirem.
  3. Determinar se a função é derivável em .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivabilidade, além de saber como calcular derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua em um ponto se:
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de pelo lado esquerdo ( ) e pelo lado direito ( ) é igual ao valor da função em .
Vamos calcular:
Agora, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda:
E o limite quando se aproxima de 1 pela direita:
Como e , e , percebemos que os limites laterais não são iguais. Portanto, o limite geral não existe.

Passo 3

Como o limite de quando se aproxima de 1 não existe, a função não é contínua em . E se a função não é contínua em um ponto, ela também não é derivável naquele ponto.

Resposta

A função não é contínua em e, portanto, não é derivável nesse ponto. As derivadas laterais e não existem devido à descontinuidade.

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