Determine se a função
é contínua no número
dado. Calcule
e
, se existirem, e determine se
é derivável em
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
definida por partes:
E o ponto de interesse é
. A gente precisa verificar:
- Se a função
é contínua em . - Calcular as derivadas laterais em
, ou seja, e , se existirem. - Determinar se a função
é derivável em .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de continuidade e derivabilidade, além de saber como calcular derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. Uma função é contínua em um ponto
se:
Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de
pelo lado esquerdo (
) e pelo lado direito (
) é igual ao valor da função em
.
Vamos calcular:
Agora, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda:
E o limite quando
se aproxima de 1 pela direita:
Como
e
, e
, percebemos que os limites laterais não são iguais. Portanto, o limite geral
não existe.
Passo 3
Como o limite de
quando
se aproxima de 1 não existe, a função
não é contínua em
. E se a função não é contínua em um ponto, ela também não é derivável naquele ponto.
Resposta
A função
não é contínua em
e, portanto, não é derivável nesse ponto. As derivadas laterais
e
não existem devido à descontinuidade.
Exercícios relacionados
Seja
um número real tal que
. Qual o valor de
.
Encontre a derivada indicada.
(g)
(g)
Seja
a função dada por
. Encontre o valor mínimo de
.
Seja
a função dada por
. Mostre que:
a) não é injetiva.
b) não é sobrejetiva.
a)
b)