Seja função definida por . Podemos então concluir que:
a) é injetora, mas não sobrejetora;
b) é sobrejetora, mas não injetora;
c) é bijetora;
d) não é injetora nem sobrejetora;
e) a imagem de é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre a função definida por . O objetivo aqui é descobrir se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma dessas opções. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que , isso implica que . Ou seja, cada valor de saída da função corresponde a apenas um valor de entrada.

Passo 3

Agora, vamos analisar se a função é injetora. Suponha que :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso implica que . Portanto, a função é injetora.

Passo 4

Em seguida, vamos entender o que é uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo no conjunto de chegada , existe pelo menos um no domínio tal que .

Passo 5

Vamos verificar se nossa função é sobrejetora. Queremos resolver a equação para :
Para que esteja definido, não pode ser zero, ou seja, . Portanto, para todo diferente de 1, existe um tal que . Porém, quando , não existe nenhum que satisfaça a equação. Assim, a função não é sobrejetora porque não cobre todo o conjunto .

Passo 6

Juntando as informações, vemos que a função é injetora mas não é sobrejetora.

Resposta

A opção correta é a a) é injetora, mas não sobrejetora.

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções, determine se elas são injetivas, sobretivas ou bijetivas:
a) dada por .
b) dada por .
c) dada por
Seja a função dada por . Mostre que:
a) não é injetiva.
b) não é sobrejetiva.
Encontre a derivada indicada.
Sejam duas funções tais que:
a) é injetora.
b) é sobrejetora.
Mostre que é injetiva e é sobrejetiva.