Seja
função definida por
. Podemos então concluir que:
a)
é injetora, mas não sobrejetora;
b)
é sobrejetora, mas não injetora;
c)
é bijetora;
d)
não é injetora nem sobrejetora;
e) a imagem de
é
.
a)
b)
c)
d)
e) a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre a função
definida por
. O objetivo aqui é descobrir se essa função é injetora, sobrejetora, bijetora ou nenhuma dessas opções. Para isso, vamos precisar entender o que significa cada uma dessas propriedades de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma função injetora. Uma função é injetora se, sempre que
, isso implica que
. Ou seja, cada valor de saída da função corresponde a apenas um valor de entrada.
Passo 3
Agora, vamos analisar se a função
é injetora. Suponha que
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Isso implica que
. Portanto, a função é injetora.
Passo 4
Em seguida, vamos entender o que é uma função sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo
no conjunto de chegada
, existe pelo menos um
no domínio
tal que
.
Passo 5
Vamos verificar se nossa função é sobrejetora. Queremos resolver a equação
para
:
Para que
esteja definido,
não pode ser zero, ou seja,
. Portanto, para todo
diferente de 1, existe um
tal que
. Porém, quando
, não existe nenhum
que satisfaça a equação. Assim, a função não é sobrejetora porque não cobre todo o conjunto
.
Passo 6
Juntando as informações, vemos que a função é injetora mas não é sobrejetora.
Resposta
A opção correta é a a)
é injetora, mas não sobrejetora.
Exercícios relacionados
Para as seguintes funções, determine se elas são injetivas, sobretivas ou bijetivas:
a) dada por
.
b) dada por
.
c) dada por
a)
b)
c)
Seja
a função dada por
. Mostre que:
a) não é injetiva.
b) não é sobrejetiva.
a)
b)
Encontre a derivada indicada.
Sejam
duas funções tais que:
a) é injetora.
b) é sobrejetora.
Mostre que é injetiva e
é sobrejetiva.
a)
b)
Mostre que