Sejam
duas funções tais que:
a)
é injetora.
b)
é sobrejetora.
Mostre que
é injetiva e
é sobrejetiva.
a)
b)
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções,
e
, que vão dos números reais para os números reais. Sabemos que a composição dessas duas funções,
, é injetora (ou seja, cada saída tem apenas uma entrada) e sobrejetora (ou seja, todo valor real é alcançado por essa função). Nosso objetivo é mostrar que
também é injetora e que
é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e sobrejetora e como essas propriedades se comportam em composições de funções.
Passo 2
Vamos começar mostrando que
é injetora. Lembrando que uma função é injetora se, sempre que
, então necessariamente
. Vamos supor que
para alguns
e
em
. Aplicando
em ambos os lados, temos:
Mas sabemos que
é injetora, então isso implica que:
Portanto,
deve ser injetora.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo
em
, existe pelo menos um
em
tal que
. Sabemos que
é sobrejetora, o que significa que para todo
em
, existe um
em
tal que:
Isso nos diz que cada
pode ser alcançado através de algum valor na composição
. Já que
é injetora (e, portanto, mapeia
em seu domínio de forma única), para cada
,
deve cobrir todo o conjunto de valores possíveis que
pode assumir. Assim,
precisa ser sobrejetora para garantir que todos os
sejam alcançados.
Resposta
Portanto, mostramos que
é injetiva e
é sobrejetiva.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada indicada.
Seja
função definida por
. Podemos então concluir que:
a) é injetora, mas não sobrejetora;
b) é sobrejetora, mas não injetora;
c) é bijetora;
d) não é injetora nem sobrejetora;
e) a imagem de é
.
a)
b)
c)
d)
e) a imagem de
Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar ou nenhuma das opções.
©
©
Se
é um número real tal que
, calcule o valor de