Sejam f, g: R -> R duas funções tais que:
a) g o f: R -> R é injetora.
b) g o f: R -> R é sobrejetora.
Mostre que f é injetiva e g é sobrejetiva.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções, e , que vão dos números reais para os números reais. Sabemos que a composição dessas duas funções, , é injetora (ou seja, cada saída tem apenas uma entrada) e sobrejetora (ou seja, todo valor real é alcançado por essa função). Nosso objetivo é mostrar que também é injetora e que é sobrejetora. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e sobrejetora e como essas propriedades se comportam em composições de funções.

Passo 2

Vamos começar mostrando que é injetora. Lembrando que uma função é injetora se, sempre que , então necessariamente . Vamos supor que para alguns e em . Aplicando em ambos os lados, temos:
Mas sabemos que é injetora, então isso implica que:
Portanto, deve ser injetora.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se para todo em , existe pelo menos um em tal que . Sabemos que é sobrejetora, o que significa que para todo em , existe um em tal que:
Isso nos diz que cada pode ser alcançado através de algum valor na composição . Já que é injetora (e, portanto, mapeia em seu domínio de forma única), para cada , deve cobrir todo o conjunto de valores possíveis que pode assumir. Assim, precisa ser sobrejetora para garantir que todos os sejam alcançados.

Resposta

Portanto, mostramos que é injetiva e é sobrejetiva.

Exercícios relacionados