Seja f(x, y) contínua em R^2. Invertendo a região de integração, reescreva a integral
integral0^2[integral-raiz1-(x-1)^2^(x-1)^2-1 f(x, y) d y] d x
como a soma de duas integrais iteradas da forma integral?^?[integral?^? f(x, y) d x] d y e faça um esboço da região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma integral dupla de uma função contínua sobre uma região no plano . O objetivo é inverter a ordem de integração, ou seja, trocar por , e expressar a integral original como a soma de duas integrais iteradas na nova ordem. Para fazer isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos dividir ela em duas partes mais fáceis de manejar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. A integral é de até , e para cada , varia de até .
Esses limites nos dizem que a região de integração está delimitada por duas curvas:
  1. — que é a parte inferior de um círculo de raio 1 centrado em .
  2. — que é uma parábola com vértice em .

Passo 3

Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região:
  • A curva do círculo vai de até .
  • A parábola também vai de até .
Ao desenhar, percebemos que essas duas curvas se cruzam no ponto .

Passo 4

Com base nessa visualização, vemos que a região de integração pode ser dividida em duas partes:
  1. Primeira parte: onde vai de até .
  2. Segunda parte: onde vai de até .

Passo 5

Agora, vamos inverter a ordem da integração. Em vez de integrar dentro de , vamos integrar dentro de . Para isso, precisamos expressar em termos de .
Para a primeira parte da região:
  • pode ser rearranjada para .
  • Como vai de a , as soluções válidas são e .
Para a segunda parte da região:
  • pode ser rearranjada para .

Passo 6

Com isso, podemos expressar a integral original como a soma de duas integrais iteradas:
integral-1^0 [ integral1 - raizy + 1^1 + raizy + 1 f(x, y) , dx ] dy + integral0^1 [ integral1 - raiz1 - y^2^1 + raiz1 - y^2 f(x, y) , dx ] dy

Resposta

A integral original pode ser reescrita como:
integral-1^0 [ integral1 - raizy + 1^1 + raizy + 1 f(x, y) , dx ] dy + integral0^1 [ integral1 - raiz1 - y^2^1 + raiz1 - y^2 f(x, y) , dx ] dy
E o esboço da região de integração é composto por duas partes: uma delimitada pela parábola de até , e outra delimitada pelo círculo de até .

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