Seja
contínua em
. Invertendo a região de integração, reescreva a integral
como a soma de duas integrais iteradas da forma
e faça um esboço da região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma integral dupla de uma função contínua
sobre uma região no plano
. O objetivo é inverter a ordem de integração, ou seja, trocar
por
, e expressar a integral original como a soma de duas integrais iteradas na nova ordem. Para fazer isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos dividir ela em duas partes mais fáceis de manejar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração originais. A integral é de
até
, e para cada
,
varia de
até
.
Esses limites nos dizem que a região de integração está delimitada por duas curvas:
-
— que é a parte inferior de um círculo de raio 1 centrado em . -
— que é uma parábola com vértice em .
Passo 3
Vamos desenhar essas curvas para visualizar a região:
- A curva do círculo
vai de até . - A parábola
também vai de até .
Ao desenhar, percebemos que essas duas curvas se cruzam no ponto
.
Passo 4
Com base nessa visualização, vemos que a região de integração pode ser dividida em duas partes:
- Primeira parte: onde
vai de até . - Segunda parte: onde
vai de até .
Passo 5
Agora, vamos inverter a ordem da integração. Em vez de integrar
dentro de
, vamos integrar
dentro de
. Para isso, precisamos expressar
em termos de
.
Para a primeira parte da região:
-
pode ser rearranjada para . - Como
vai de a , as soluções válidas são e .
Para a segunda parte da região:
-
pode ser rearranjada para .
Passo 6
Com isso, podemos expressar a integral original como a soma de duas integrais iteradas:
Resposta
A integral original pode ser reescrita como:
E o esboço da região de integração é composto por duas partes: uma delimitada pela parábola
de
até
, e outra delimitada pelo círculo
de
até
.