Seja uma função derivável num ponto . Calcule, em termos de , o limite:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função que é derivável em um ponto . Precisamos calcular o limite:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a expressão do limite para facilitar o cálculo. Observamos que temos uma diferença de raízes no denominador. Para simplificar, podemos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador por :

Passo 3

Realizando a multiplicação, temos:
No denominador, aplicamos a identidade , então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, podemos separar a expressão em dois fatores:
Observamos que o primeiro fator é precisamente a definição da derivada de em , desde que seja derivável em .

Passo 5

Sabemos que:
E também:
Portanto, o limite original é o produto desses dois limites:

Resposta

O limite é igual a .

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DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
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