Seja f: R R uma função derivável num ponto a >= 0. Calcule, em termos de f^prime(a), o limite:
lim x a f(x)-f(a)raizx-raiza

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função lim x a f(x)-f(a)raizx-raiza que é derivável em um ponto . Precisamos calcular o limite:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a expressão do limite para facilitar o cálculo. Observamos que temos uma diferença de raízes no denominador. Para simplificar, podemos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador por f(x)-f(a)raizx-raiza times raizx + raizaraizx + raiza :

Passo 3

Realizando a multiplicação, temos:
(f(x)-f(a))(raizx + raiza)(raizx-raiza)(raizx+raiza)
No denominador, aplicamos a identidade (raizx-raiza)(raizx+raiza) = x - a , então:
(f(x)-f(a))(raizx + raiza)x - a
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Agora, podemos separar a expressão em dois fatores:
f(x)-f(a)x - a times (raizx + raiza)
Observamos que o primeiro fator é precisamente a definição da derivada de em , desde que seja derivável em .

Passo 5

Sabemos que:
limx a f(x)-f(a)x - a = f'(a)
E também:
limx a (raizx + raiza) = 2raiza
Portanto, o limite original é o produto desses dois limites:
f'(a) times 2raiza = 2 f'(a) raiza

Resposta

O limite é igual a .

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