Seja
uma função derivável num ponto
. Calcule, em termos de
, o limite:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma função
que é derivável em um ponto
. Precisamos calcular o limite:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e limites em cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a expressão do limite para facilitar o cálculo. Observamos que temos uma diferença de raízes no denominador. Para simplificar, podemos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar numerador e denominador por
:
Passo 3
Realizando a multiplicação, temos:
No denominador, aplicamos a identidade
, então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 4
Agora, podemos separar a expressão em dois fatores:
Observamos que o primeiro fator é precisamente a definição da derivada de
em
, desde que
seja derivável em
.
Passo 5
Sabemos que:
E também:
Portanto, o limite original é o produto desses dois limites:
Resposta
O limite é igual a
.
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