Beleza, vamos resolver a integral . Isso aqui é sobre Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica pra quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente sabe integrar. Vamos precisar identificar constantes que vão facilitar essa divisão e depois integrar cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a fração como uma soma de frações mais simples. A ideia é escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora para eliminar as frações, temos:
Vamos expandir essa expressão pra facilitar encontrar os valores de , e .
Passo 4
Expandindo os termos:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos de igual grau dos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas , que pode ser escrito como . Portanto:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, sabemos que 4A + 3(-A) + C = 1 Rightarrow 4A - 3A + C = 1 Rightarrow A + C = 1 Rightarrow C = 1 - A .
Substituindo 4A + 2(-A) + (1 - A) = 0 Rightarrow 4A - 2A + 1 - A = 0 Rightarrow A + 1 = 0 Rightarrow A = -1 na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, e .
Passo 7
Agora que temos os valores de x(x+1)(x+2)^2 = -1x+1 + 1x+2 + 2(x+2)^2 , e , podemos voltar à expressão das frações parciais:
Passo 8
Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x , dx(x+1)(x+2)^2 = integral ( -1x+1 + 1x+2 + 2(x+2)^2 ) dx
Integrando termo a termo:
= -ln|x+1| + ln|x+2| - 2x+2 + C
Resposta
A integral -ln|x+1| + ln|x+2| - 2x+2 + C é igual a: