Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso aqui é sobre Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica pra quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente sabe integrar. Vamos precisar identificar constantes que vão facilitar essa divisão e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração como uma soma de frações mais simples. A ideia é escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora para eliminar as frações, temos:
Vamos expandir essa expressão pra facilitar encontrar os valores de , e .

Passo 4

Expandindo os termos:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos de igual grau dos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas , que pode ser escrito como . Portanto:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, sabemos que .
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os valores de , e , podemos voltar à expressão das frações parciais:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo:
Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

.
Seja uma função derivável num ponto . Calcule, em termos de , o limite:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: