Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

integral x d x(x+1)(x+2)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso aqui é sobre Decomposição em Frações Parciais, que é uma técnica pra quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente sabe integrar. Vamos precisar identificar constantes que vão facilitar essa divisão e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração x(x+1)(x+2)^2 = Ax+1 + Bx+2 + C(x+2)^2 como uma soma de frações mais simples. A ideia é escrever:
Aqui, , e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora x = A(x+2)^2 + B(x+1)(x+2) + C(x+1) para eliminar as frações, temos:
Vamos expandir essa expressão pra facilitar encontrar os valores de , e .

Passo 4

Expandindo os termos:
x = A(x^2 + 4x + 4) + B(x^2 + 3x + 2) + C(x + 1)
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
x = (A + B)x^2 + (4A + 3B + C)x + (4A + 2B + C)

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos de igual grau dos dois lados da equação. No lado esquerdo, temos apenas A + B = 0 4A + 3B + C = 1 4A + 2B + C = 0 , que pode ser escrito como . Portanto:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, sabemos que 4A + 3(-A) + C = 1 Rightarrow 4A - 3A + C = 1 Rightarrow A + C = 1 Rightarrow C = 1 - A .
Substituindo 4A + 2(-A) + (1 - A) = 0 Rightarrow 4A - 2A + 1 - A = 0 Rightarrow A + 1 = 0 Rightarrow A = -1 na segunda equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Então, e .

Passo 7

Agora que temos os valores de x(x+1)(x+2)^2 = -1x+1 + 1x+2 + 2(x+2)^2 , e , podemos voltar à expressão das frações parciais:

Passo 8

Finalmente, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x , dx(x+1)(x+2)^2 = integral ( -1x+1 + 1x+2 + 2(x+2)^2 ) dx
Integrando termo a termo:
= -ln|x+1| + ln|x+2| - 2x+2 + C

Resposta

A integral -ln|x+1| + ln|x+2| - 2x+2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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