Seja
, uma função tal que
se
e,
.
Determine a imagem direta
, em que
.
Determine a imagem direta
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos uma função definida por:
Temos uma função
Queremos encontrar a imagem direta
, onde
.
Conteúdo da matéria:
Vamos trabalhar com funções, imagem de uma função e análise de intervalos. Precisaremos entender como a função se comporta no intervalo dado .
Vamos trabalhar com funções, imagem de uma função e análise de intervalos. Precisaremos entender como a função se comporta no intervalo dado
Passo 2
O que é a imagem de uma função?
A imagem direta é o conjunto de todos os valores que
assume quando
varia em
. Ou seja, queremos encontrar todos os
para
entre 1 e 2.
A imagem direta
Passo 3
Analisando a função no intervalo
:
Como está entre 1 e 2, e nenhum desses valores é zero, podemos usar a parte da função
.
Como
Passo 4
Comportamento da função
:
Para , a função
é sempre positiva e decrescente conforme
aumenta. Isso significa que, à medida que
vai de 1 para 2,
vai diminuir.
Para
Passo 5
Calculando os valores extremos no intervalo
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 6
Definindo a imagem
:
Como é contínua e estritamente decrescente no intervalo
, a imagem
vai do menor valor
até o maior valor
.
Como
Resposta
A imagem direta
é o conjunto
.
Exercícios relacionados
(a) Aproxime
por um polinômio de Taylor com grau
no número
.
Seja
, uma função tal que
se
e,
.
Determine a imagem inversa , em que
.
Determine a imagem inversa
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
d)
d)
Seja
, tal que
para todo
. Seja
, tal que
para todo
. Defina a função composta
em que
.
Determine a imagem direta , em que
.
Determine a imagem direta