Seja , uma função tal que se e, .
Determine a imagem direta , em que .

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos uma função definida por:
Queremos encontrar a imagem direta , onde .
Conteúdo da matéria:
Vamos trabalhar com funções, imagem de uma função e análise de intervalos. Precisaremos entender como a função se comporta no intervalo dado .

Passo 2

O que é a imagem de uma função?
A imagem direta é o conjunto de todos os valores que assume quando varia em . Ou seja, queremos encontrar todos os para entre 1 e 2.

Passo 3

Analisando a função no intervalo :
Como está entre 1 e 2, e nenhum desses valores é zero, podemos usar a parte da função .

Passo 4

Comportamento da função :
Para , a função é sempre positiva e decrescente conforme aumenta. Isso significa que, à medida que vai de 1 para 2, vai diminuir.

Passo 5

Calculando os valores extremos no intervalo :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Definindo a imagem :
Como é contínua e estritamente decrescente no intervalo , a imagem vai do menor valor até o maior valor .

Resposta

A imagem direta é o conjunto .

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(a) Aproxime por um polinômio de Taylor com grau no número .
Seja , uma função tal que se e, .
Determine a imagem inversa , em que .
Esboce o gráfico das seguintes funções :
d)
Seja , tal que para todo . Seja , tal que para todo . Defina a função composta em que .
Determine a imagem direta , em que .