Seja f: R -> R, uma função tal que f(x) = 1/x^2 se x != 0 e, f(0) = 0.
Determine a imagem direta f(E), em que E = { x ∈ R ; 1 <= x <= 2 }.

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos uma função definida por:
Queremos encontrar a imagem direta , onde .
Conteúdo da matéria:
Vamos trabalhar com funções, imagem de uma função e análise de intervalos. Precisaremos entender como a função se comporta no intervalo dado .

Passo 2

O que é a imagem de uma função?
A imagem direta é o conjunto de todos os valores que assume quando varia em . Ou seja, queremos encontrar todos os para entre 1 e 2.

Passo 3

Analisando a função no intervalo :
Como está entre 1 e 2, e nenhum desses valores é zero, podemos usar a parte da função .

Passo 4

Comportamento da função :
Para , a função é sempre positiva e decrescente conforme aumenta. Isso significa que, à medida que vai de 1 para 2, vai diminuir.

Passo 5

Calculando os valores extremos no intervalo :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 6

Definindo a imagem :
Como é contínua e estritamente decrescente no intervalo , a imagem vai do menor valor até o maior valor .

Resposta

A imagem direta é o conjunto .

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