Seja
, tal que
para todo
. Seja
, tal que
para todo
. Defina a função composta
em que
.
Determine a imagem direta
, em que
.
Determine a imagem direta
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas para todos os números reais:
A função composta
é definida como
, ou seja,
. Queremos descobrir a imagem direta
onde o conjunto
é todos os números reais
tais que
.
Então, vamos usar conceitos de funções compostas e imagem direta para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. Quando temos
, isso significa que para cada valor de
, primeiro aplicamos a função
e depois aplicamos a função
ao resultado de
. Matemáticamente, isso fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando as funções que temos:
Então,
Passo 4
Queremos encontrar a imagem direta
. Isso significa que precisamos encontrar todos os valores que
assume quando
varia em
, ou seja, quando
está entre 0 e 1.
Sabemos que
.
Passo 5
Vamos calcular
para os extremos de
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Observando a função
, percebemos que é uma função quadrática com abscissa do vértice em
. No intervalo
, a função é crescente porque está à direita do vértice.
Isso significa que à medida que
aumenta de 0 para 1,
também aumenta de 4 para 9.
Passo 7
Portanto, a imagem direta
é o intervalo que vai de 4 a 9.
Resposta
A imagem direta
é o intervalo
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções
:
d)
d)
Seja
, uma função tal que
se
e,
.
Determine a imagem direta , em que
.
Determine a imagem direta
Seja
, tal que
para todo
. Seja
, tal que
para todo
. Defina a função composta
em que
.
Determine a imagem inversa , em que
.
Determine a imagem inversa
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação
quando
estiver no intervalo dado.