Seja f: R -> R, tal que f(x) = x + 2 para todo x em R. Seja g: R -> R, tal que g(x) = x^2 para todo x em R. Defina a função composta h: R -> R em que h = g(f).
Determine a imagem direta h(E), em que E = {x pertencente a R ; 0 <= x <= 1}.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas para todos os números reais:
A função composta é definida como , ou seja, . Queremos descobrir a imagem direta onde o conjunto é todos os números reais tais que .
Então, vamos usar conceitos de funções compostas e imagem direta para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. Quando temos , isso significa que para cada valor de , primeiro aplicamos a função e depois aplicamos a função ao resultado de . Matemáticamente, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando as funções que temos:
Então,

Passo 4

Queremos encontrar a imagem direta . Isso significa que precisamos encontrar todos os valores que assume quando varia em , ou seja, quando está entre 0 e 1.
Sabemos que .

Passo 5

Vamos calcular para os extremos de :
Para :
Para :

Passo 6

Observando a função , percebemos que é uma função quadrática com abscissa do vértice em . No intervalo , a função é crescente porque está à direita do vértice.
Isso significa que à medida que aumenta de 0 para 1, também aumenta de 4 para 9.

Passo 7

Portanto, a imagem direta é o intervalo que vai de 4 a 9.

Resposta

A imagem direta é o intervalo .

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