Seja , tal que para todo . Seja , tal que para todo . Defina a função composta em que .
Determine a imagem direta , em que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções definidas para todos os números reais:
A função composta é definida como , ou seja, . Queremos descobrir a imagem direta onde o conjunto é todos os números reais tais que .
Então, vamos usar conceitos de funções compostas e imagem direta para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. Quando temos , isso significa que para cada valor de , primeiro aplicamos a função e depois aplicamos a função ao resultado de . Matemáticamente, isso fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando as funções que temos:
Então,

Passo 4

Queremos encontrar a imagem direta . Isso significa que precisamos encontrar todos os valores que assume quando varia em , ou seja, quando está entre 0 e 1.
Sabemos que .

Passo 5

Vamos calcular para os extremos de :
Para :
Para :

Passo 6

Observando a função , percebemos que é uma função quadrática com abscissa do vértice em . No intervalo , a função é crescente porque está à direita do vértice.
Isso significa que à medida que aumenta de 0 para 1, também aumenta de 4 para 9.

Passo 7

Portanto, a imagem direta é o intervalo que vai de 4 a 9.

Resposta

A imagem direta é o intervalo .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das seguintes funções :
d)
Seja , uma função tal que se e, .
Determine a imagem direta , em que .
Seja , tal que para todo . Seja , tal que para todo . Defina a função composta em que .
Determine a imagem inversa , em que .
(b) Use a Desigualdade de Taylor para estimar a precisão da aproximação quando estiver no intervalo dado.