Determine o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares reais, usando os algoritmos de eliminação e eliminação total:
2 x+y+z & =0 x+3 z+4 y & =1 4(y+x) & =2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que temos aqui. A gente tem três equações com três incógnitas: , e . Para resolver, vamos usar os métodos de eliminação, que ajudam a simplificar o sistema até encontrar os valores das variáveis. Vamos precisar rearranjar as equações e eliminar uma variável de cada vez até chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as equações para facilitar a eliminação. As equações são:
2x + y + z = 0 (1) x + 4y + 3z = 1 (2) 4x + 4y = 2 (3)
Observe que na equação (3), podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
x + y = 12 (3 simplificada)

Passo 3

Agora, vamos usar a equação (3 simplificada) para expressar x = 12 - y em termos de :
Isso já nos ajuda a eliminar das outras equações.

Passo 4

Vamos substituir 2(12 - y) + y + z = 0 na equação (1):
1 - 2y + y + z = 0 1 - y + z = 0
Agora, resolvendo passo a passo:
-y + z = -1 (4)
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

Agora, vamos substituir (12 - y) + 4y + 3z = 1 na equação (2):
12 - y + 4y + 3z = 1 12 + 3y + 3z = 1
Simplificando:
3y + 3z = 12
Subtraindo y + z = 16 (5) de ambos os lados:
Dividindo todos os termos por 3:

Passo 6

Agora temos duas equações com duas variáveis:
-y + z = -1 (4) y + z = 16 (5)
Vamos resolver essas duas equações. Podemos somar as duas para eliminar (-y + z) + (y + z) = -1 + 16 2z = -56 :
z = -512
Dividindo por 2:

Passo 7

Com o valor de y + (-512) = 16 y - 512 = 16 , podemos encontrar y = 16 + 512 = 212 + 512 = 712 usando a equação (5):
Somando em ambos os lados:

Passo 8

Agora que temos x = 12 - y = 12 - 712 = 612 - 712 = -112 e , podemos encontrar usando a equação que obtivemos no Passo 3:

Resposta

A solução do sistema é:
x = -112, y = 712, z = -512

Exercícios relacionados