Seja F: V R^5 uma transformação linear.
(b) Se F é injetora e sobrejetora, qual é a dim(V) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear . Queremos descobrir qual é a dimensão do espaço sabendo que é injetora e sobrejetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformações lineares, injetividade, sobrejetividade e dimensão dos espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser injetora e sobrejetora:
  • Injetora: Cada elemento de é mapeado para um elemento único em . Não há dois vetores diferentes em que apontem para o mesmo vetor em .
  • Sobrejetora: Toda coordenada em é atingida por pelo menos um vetor em . Ou seja, não há “buracos” no espaço de chegada.
Quando uma transformação linear é injetora e sobrejetora, ela é chamada de bijetora ou isomorfismo, o que implica que os dois espaços têm a mesma dimensão.

Passo 3

Como dim(V) = 5 é um isomorfismo entre e , isso significa que e têm a mesma dimensão. Sabemos que a dimensão de é 5, então necessariamente:

Resposta

A dimensão de é 5.

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