Seja
uma transformação linear.
(b) Se
é injetora e sobrejetora, qual é a
?
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear
. Queremos descobrir qual é a dimensão do espaço
sabendo que
é injetora e sobrejetora. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformações lineares, injetividade, sobrejetividade e dimensão dos espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
ser injetora e sobrejetora:
-
Injetora: Cada elemento de
é mapeado para um elemento único em . Não há dois vetores diferentes em que apontem para o mesmo vetor em . -
Sobrejetora: Toda coordenada em
é atingida por pelo menos um vetor em . Ou seja, não há “buracos” no espaço de chegada.
Quando uma transformação linear é injetora e sobrejetora, ela é chamada de bijetora ou isomorfismo, o que implica que os dois espaços têm a mesma dimensão.
Passo 3
Como
é um isomorfismo entre
e
, isso significa que
e
têm a mesma dimensão. Sabemos que a dimensão de
é 5, então necessariamente:
Resposta
A dimensão de
é 5.