Seja [T] um operador linear em R^3 e a matriz de T com respeito a base canônica é dada por [T]C=
[ccc2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3]
(a) Encontre o polinômio característico de T, os autovalores e autovetores correspondentes.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de álgebra linear onde temos um operador linear em representado por uma matriz em relação à base canônica. O que a gente precisa fazer é encontrar o polinômio característico de , os autovalores (ou valores próprios) e os autovetores correspondentes. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes, equações características e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de 2 & 0 & 1 0 & -3 & 1 0 & 0 & -3 . O polinômio característico é dado por 2 - lambda & 0 & 1 0 & -3 - lambda & 1 0 & 0 & -3 - lambda , onde é a matriz identidade e é um escalar.
Nossa matriz é:
Então, fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
det(T - lambda I) = det 2 - lambda & 0 & 1 0 & -3 - lambda & 1 0 & 0 & -3 - lambda
Como a matriz é triangular superior (todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:
det(T - lambda I) = (2 - lambda) cdot (-3 - lambda) cdot (-3 - lambda)
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = (2 - lambda)(-3 - lambda)^2

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores resolvendo (2 - lambda)(-3 - lambda)^2 = 0 :
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
Isso nos dá:
-3 - lambda = 0 Rightarrow lambda = -3
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada 0 & 0 & 1 0 & -5 & 1 0 & 0 & -5 , resolvemos o sistema 0x + 0y + z = 0 0x -5y + z = 0 0x + 0y -5z = 0 .
Para -5y + 0 = 0 Rightarrow y = 0 :
Substituindo na matriz x 0 0 :
v1 = 1 0 0
Isso nos dá o sistema:
5 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Da última equação, 5x + 0y + z = 0 0x + 0y + z = 0 0x + 0y + 0z = 0 implica 5x + 0 + 0 = 0 Rightarrow x = 0 . Substituindo na segunda equação:
0 y 0
A primeira equação já é satisfeita. Então, o autovetor tem a forma v2 = 0 1 0 , onde pode ser qualquer número diferente de zero. Geralmente, escolhemos para simplificar:
Para :
Substituindo na matriz :
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira equação:
A variável é livre, ou seja, pode ser qualquer número. Então, o autovetor tem a forma . Escolhendo :

Resposta

O polinômio característico de 1 0 0 é 0 1 0 . Os autovalores são com o autovetor e com o autovetor .

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