Calcule os seguintes limites:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
I)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
I)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Passo 1
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções polinomiais. Para resolver, precisamos entender como cada termo do polinômio se comporta conforme
cresce sem limites.
Passo 2
Em um polinômio, o termo com o maior grau é o que mais influencia o comportamento da função quando
tende a
. No nosso caso, o termo de maior grau é
.
Passo 3
Conforme
aumenta para valores muito grandes,
cresce muito mais rapidamente do que
e muito mais do que a constante
. Isso significa que, para valores grandes de
, o termo
“domina” o comportamento do polinômio.
Passo 4
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício faz parte do estudo de limites de funções racionais, onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Precisamos analisar o comportamento dos termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 5
Em funções racionais, a maneira como o limite se comporta para
tendendo a
depende dos graus dos polinômios do numerador e do denominador:
- Se os graus forem iguais, o limite será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
- Se o grau do numerador for maior, o limite tende a
ou dependendo do sinal. - Se o grau do denominador for maior, o limite tende a 0.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau (
).
Passo 6
Como os graus são iguais, o limite será igual à razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No numerador, o coeficiente de
é 1, e no denominador é 2.
Passo 7
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Esse exercício se encaixa no estudo de limites de funções racionais, onde o numerador é um polinômio de quinto grau e o denominador é um polinômio de segundo grau. Precisamos analisar qual termo domina o comportamento do limite.
Passo 8
Em funções racionais, o termo com o maior grau no numerador e no denominador influencia o comportamento do limite. Aqui, o numerador tem grau 5 (
) e o denominador tem grau 2 (
).
Passo 9
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende para
ou
dependendo do sinal. Observando os coeficientes:
- O termo dominante no numerador é
e, como tende a , será negativo. - O termo dominante no denominador é
, que é sempre negativo para real.
Multiplicando os sinais, temos
, e como o grau do numerador é maior, o limite tende a
.
Passo 10
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este é um exercício de limites de funções racionais, onde o numerador é um polinômio de segundo grau e o denominador é um polinômio de primeiro grau. Precisamos entender como os graus dos polinômios influenciam o limite.
Passo 11
Em funções racionais, se o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende a
ou
dependendo dos coeficientes e dos sinais dos termos dominantes.
Passo 12
O numerador tem grau 2 (
) e o denominador tem grau 1 (
). Como o grau do numerador é maior, o limite tende a
se o coeficiente do termo de maior grau for positivo, ou
se for negativo. Aqui, o coeficiente de
no numerador é positivo.
Passo 13
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve uma função racional com uma raiz quadrada. Precisamos analisar como os termos se comportam para valores grandes de
.
Passo 14
Primeiro, simplificamos a expressão:
Portanto, a função fica
.
Passo 15
Analisando os graus:
- Numerador:
(grau ) - Denominador:
(grau )
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende a
ou
dependendo dos coeficientes. Aqui, ambos os coeficientes principais são positivos.
Passo 16
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções com raízes quadradas. Precisamos manipular a expressão para facilitar a análise do limite.
Passo 17
Primeiro, fatoramos
no numerador e no denominador para simplificar:
- Numerador:
. Como tende a , . - Denominador:
Passo 18
Substituindo:
Quando
tende a
,
tende a 0 e
tende a 0. Assim:
Passo 19
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer manipulação algébrica para resolver.
Passo 20
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Multiplicamos e dividimos por sua forma conjugada para racionalizar:
Passo 21
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Dividindo numerador e denominador por
:
Quando
tende a
,
tende a 0:
Passo 22
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer análise do comportamento assintótico.
Passo 23
Primeiro, fatoramos
no numerador e no denominador:
- Numerador:
. Como tende a , . - Denominador:
Passo 24
Substituindo na expressão:
Quando
tende a
,
tende a 0 e
tende a 0:
Passo 25
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções racionais com raízes quadradas. Precisamos simplificar a expressão para analisar o comportamento do limite.
Passo 26
Primeiro, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 27
Quando
tende a
:
-
tende a 0 -
tende a 0
Assim, a expressão simplifica para:
Passo 28
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer manipulação algébrica para simplificação.
Passo 29
Primeiro, observamos que:
Para simplificar, fatoramos
de dentro da raiz:
Como
tende a
,
:
Passo 30
Dividindo dentro da raiz por
:
Agora, substituímos na expressão original:
Quando
tende a
,
tende a
.
Passo 31
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções racionais com raízes quadradas. Precisamos simplificar a expressão para avaliar o comportamento do limite.
Passo 32
Primeiro, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 33
Quando
tende a
:
-
tende a 0 -
tende a 0
Assim, a expressão simplifica para:
Passo 34
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 35
Analisando a função
, observamos que há uma assíntota vertical em
, pois o denominador se aproxima de 0.
Passo 36
Quando
se aproxima de 3 pela direita (
):
- O denominador
tende a 0 positivo. - O numerador
tende a 3.
Assim, a fração
tende a
.
Passo 37
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 38
Analisando a função
, observamos que há uma assíntota vertical em
, pois o denominador se aproxima de 0.
Passo 39
Quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
):
- O denominador
tende a 0 negativo. - O numerador
tende a 3.
Assim, a fração
tende a
.
Passo 40
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 41
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 42
Quando
tende a
:
- O numerador
tende a . - O denominador
tende a .
Portanto, a fração
tende a
.
Passo 43
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 44
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 45
Quando
tende a
:
- O numerador
tende a . - O denominador
tende a .
Portanto, a fração
tende a
.
Passo 46
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 47
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 48
Quando
tende a
:
- O numerador
tende a . - O denominador
tende a .
Portanto, a fração
tende a
.
Passo 49
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 50
Primeiro, fatoramos o denominador:
Passo 51
Quando
tende a
:
- O numerador
tende a . - O denominador
tende a .
Portanto, a fração
tende a
.
Passo 52
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites com valor absoluto e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 53
Quando
se aproxima de
,
é positivo e pequeno. Portanto,
.
Passo 54
A expressão se torna:
Quando
tende a
,
tende a
, então a fração tende a
.
Passo 55
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites com valor absoluto e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 56
Quando
se aproxima de
,
é negativo e pequeno. Portanto,
.
Passo 57
A expressão se torna:
Quando
tende a
,
tende a
, então a fração tende a
.
Passo 58
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer manipulação algébrica para simplificar a expressão.
Passo 59
Primeiro, observamos que:
Passo 60
Podemos expandir a raiz para valores grandes de
:
Portanto:
Subtraindo
:
Quando
tende a
,
domina e o limite tende a
.
Passo 61
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções racionais com raízes quadradas e requer análise do comportamento assintótico.
Passo 62
Primeiro, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 63
Quando
tende a
:
-
tende a 0 -
tende a 0
Assim, a expressão simplifica para:
Passo 64
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções racionais com raízes quadradas e requer análise do comportamento assintótico.
Passo 65
Primeiro, dividimos numerador e denominador por
:
Passo 66
Quando
tende a
:
-
tende a 0 -
tende a 0
Assim, a expressão simplifica para:
Passo 67
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites com valor absoluto e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 68
Quando
se aproxima de
,
é positivo e pequeno. Portanto,
.
Passo 69
A expressão se torna:
Quando
tende a
,
tende a
, então a fração tende a
.
Passo 70
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve limites com valor absoluto e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.
Passo 71
Quando
se aproxima de
,
é negativo e pequeno. Portanto,
.
Passo 72
A expressão se torna:
Quando
tende a
,
tende a
, então a fração tende a
.
Passo 73
Estamos calculando o limite de
quando
tende a
. Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer manipulação algébrica para simplificar a expressão.
Passo 74
Primeiro, observamos que:
Para simplificar, fatoramos
de dentro da raiz:
Como
tende a
,
:
Passo 75
Dividindo dentro da raiz por
:
Agora, substituímos na expressão original:
Quando
tende a
,
tende a
.
Resposta
O limite é
.