Calcule os seguintes limites:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
I)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)

Passo 1

Estamos calculando o limite de quando tende a . Esse exercício faz parte do estudo de limites de funções polinomiais. Para resolver, precisamos entender como cada termo do polinômio se comporta conforme cresce sem limites.

Passo 2

Em um polinômio, o termo com o maior grau é o que mais influencia o comportamento da função quando tende a . No nosso caso, o termo de maior grau é .

Passo 3

Conforme aumenta para valores muito grandes, cresce muito mais rapidamente do que e muito mais do que a constante . Isso significa que, para valores grandes de , o termo “domina” o comportamento do polinômio.

Passo 4

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício faz parte do estudo de limites de funções racionais, onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Precisamos analisar o comportamento dos termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 5

Em funções racionais, a maneira como o limite se comporta para tendendo a depende dos graus dos polinômios do numerador e do denominador:
  • Se os graus forem iguais, o limite será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se o grau do numerador for maior, o limite tende a ou dependendo do sinal.
  • Se o grau do denominador for maior, o limite tende a 0.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau ( ).

Passo 6

Como os graus são iguais, o limite será igual à razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No numerador, o coeficiente de é 1, e no denominador é 2.

Passo 7

Estamos calculando o limite de quando tende a . Esse exercício se encaixa no estudo de limites de funções racionais, onde o numerador é um polinômio de quinto grau e o denominador é um polinômio de segundo grau. Precisamos analisar qual termo domina o comportamento do limite.

Passo 8

Em funções racionais, o termo com o maior grau no numerador e no denominador influencia o comportamento do limite. Aqui, o numerador tem grau 5 ( ) e o denominador tem grau 2 ( ).

Passo 9

Como o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende para ou dependendo do sinal. Observando os coeficientes:
  • O termo dominante no numerador é e, como tende a , será negativo.
  • O termo dominante no denominador é , que é sempre negativo para real.
Multiplicando os sinais, temos , e como o grau do numerador é maior, o limite tende a .

Passo 10

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este é um exercício de limites de funções racionais, onde o numerador é um polinômio de segundo grau e o denominador é um polinômio de primeiro grau. Precisamos entender como os graus dos polinômios influenciam o limite.

Passo 11

Em funções racionais, se o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende a ou dependendo dos coeficientes e dos sinais dos termos dominantes.

Passo 12

O numerador tem grau 2 ( ) e o denominador tem grau 1 ( ). Como o grau do numerador é maior, o limite tende a se o coeficiente do termo de maior grau for positivo, ou se for negativo. Aqui, o coeficiente de no numerador é positivo.

Passo 13

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve uma função racional com uma raiz quadrada. Precisamos analisar como os termos se comportam para valores grandes de .

Passo 14

Primeiro, simplificamos a expressão:
Portanto, a função fica .

Passo 15

Analisando os graus:
  • Numerador: (grau )
  • Denominador: (grau )
Como o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende a ou dependendo dos coeficientes. Aqui, ambos os coeficientes principais são positivos.

Passo 16

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções com raízes quadradas. Precisamos manipular a expressão para facilitar a análise do limite.

Passo 17

Primeiro, fatoramos no numerador e no denominador para simplificar:
  • Numerador: . Como tende a , .
  • Denominador:

Passo 18

Substituindo:
Quando tende a , tende a 0 e tende a 0. Assim:

Passo 19

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer manipulação algébrica para resolver.

Passo 20

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Multiplicamos e dividimos por sua forma conjugada para racionalizar:

Passo 21

Agora, substituímos de volta na expressão original:
Dividindo numerador e denominador por :
Quando tende a , tende a 0:

Passo 22

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer análise do comportamento assintótico.

Passo 23

Primeiro, fatoramos no numerador e no denominador:
  • Numerador: . Como tende a , .
  • Denominador:

Passo 24

Substituindo na expressão:
Quando tende a , tende a 0 e tende a 0:

Passo 25

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções racionais com raízes quadradas. Precisamos simplificar a expressão para analisar o comportamento do limite.

Passo 26

Primeiro, dividimos numerador e denominador por :

Passo 27

Quando tende a :
  • tende a 0
  • tende a 0
Assim, a expressão simplifica para:

Passo 28

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer manipulação algébrica para simplificação.

Passo 29

Primeiro, observamos que:
Para simplificar, fatoramos de dentro da raiz:
Como tende a , :

Passo 30

Dividindo dentro da raiz por :
Agora, substituímos na expressão original:
Quando tende a , tende a .

Passo 31

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções racionais com raízes quadradas. Precisamos simplificar a expressão para avaliar o comportamento do limite.

Passo 32

Primeiro, dividimos numerador e denominador por :

Passo 33

Quando tende a :
  • tende a 0
  • tende a 0
Assim, a expressão simplifica para:

Passo 34

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 35

Analisando a função , observamos que há uma assíntota vertical em , pois o denominador se aproxima de 0.

Passo 36

Quando se aproxima de 3 pela direita ( ):
  • O denominador tende a 0 positivo.
  • O numerador tende a 3.
Assim, a fração tende a .

Passo 37

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 38

Analisando a função , observamos que há uma assíntota vertical em , pois o denominador se aproxima de 0.

Passo 39

Quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
  • O denominador tende a 0 negativo.
  • O numerador tende a 3.
Assim, a fração tende a .

Passo 40

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 41

Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 42

Quando tende a :
  • O numerador tende a .
  • O denominador tende a .
Portanto, a fração tende a .

Passo 43

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 44

Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 45

Quando tende a :
  • O numerador tende a .
  • O denominador tende a .
Portanto, a fração tende a .

Passo 46

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 47

Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 48

Quando tende a :
  • O numerador tende a .
  • O denominador tende a .
Portanto, a fração tende a .

Passo 49

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites unilaterais e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 50

Primeiro, fatoramos o denominador:

Passo 51

Quando tende a :
  • O numerador tende a .
  • O denominador tende a .
Portanto, a fração tende a .

Passo 52

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites com valor absoluto e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 53

Quando se aproxima de , é positivo e pequeno. Portanto, .

Passo 54

A expressão se torna:
Quando tende a , tende a , então a fração tende a .

Passo 55

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites com valor absoluto e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 56

Quando se aproxima de , é negativo e pequeno. Portanto, .

Passo 57

A expressão se torna:
Quando tende a , tende a , então a fração tende a .

Passo 58

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 59

Primeiro, observamos que:

Passo 60

Podemos expandir a raiz para valores grandes de :
Portanto:
Subtraindo :
Quando tende a , domina e o limite tende a .

Passo 61

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções racionais com raízes quadradas e requer análise do comportamento assintótico.

Passo 62

Primeiro, dividimos numerador e denominador por :

Passo 63

Quando tende a :
  • tende a 0
  • tende a 0
Assim, a expressão simplifica para:

Passo 64

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções racionais com raízes quadradas e requer análise do comportamento assintótico.

Passo 65

Primeiro, dividimos numerador e denominador por :

Passo 66

Quando tende a :
  • tende a 0
  • tende a 0
Assim, a expressão simplifica para:

Passo 67

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites com valor absoluto e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 68

Quando se aproxima de , é positivo e pequeno. Portanto, .

Passo 69

A expressão se torna:
Quando tende a , tende a , então a fração tende a .

Passo 70

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve limites com valor absoluto e análise do comportamento próximo ao ponto de interesse.

Passo 71

Quando se aproxima de , é negativo e pequeno. Portanto, .

Passo 72

A expressão se torna:
Quando tende a , tende a , então a fração tende a .

Passo 73

Estamos calculando o limite de quando tende a . Este exercício envolve funções com raízes quadradas e requer manipulação algébrica para simplificar a expressão.

Passo 74

Primeiro, observamos que:
Para simplificar, fatoramos de dentro da raiz:
Como tende a , :

Passo 75

Dividindo dentro da raiz por :
Agora, substituímos na expressão original:
Quando tende a , tende a .

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine e de maneira que seja diferenciável,
(a)
Trace ou copie o gráfico da função dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de abaixo.
9.
Calcule os seguintes limites:
a)
b)
c)
d)
Seja
Esboce o gráfico dessa função e calcule os seguintes limites, se existirem:
a)
b)
c)
d)