Seja
é derivável em 2? Por quê?

Passo 1

Vamos analisar a questão: queremos saber se a função definida por partes é derivável em . Isso envolve o estudo de derivadas, especificamente verificando se as derivadas pela esquerda e pela direita no ponto são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as expressões da função em cada intervalo:
  • Para , .
  • Para , .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de para cada intervalo.
Para :
A função é , que é uma reta com coeficiente angular 1. Portanto, sua derivada é:
Para :
A função é , que é uma constante. A derivada de uma constante é 0:

Passo 4

Para que a função seja derivável em , as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto devem ser iguais.
Derivada pela esquerda ( ):
Derivada pela direita ( ):

Passo 5

Comparando as derivadas:
Como as derivadas laterais não são iguais, a função não é derivável em .

Resposta

A função não é derivável em porque as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são diferentes.

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