Seja
é derivável em 2? Por quê?
Passo 1
Vamos analisar a questão: queremos saber se a função
definida por partes é derivável em
. Isso envolve o estudo de derivadas, especificamente verificando se as derivadas pela esquerda e pela direita no ponto
são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as expressões da função
em cada intervalo:
- Para
, . - Para
, .
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
para cada intervalo.
Para
:
A função é , que é uma reta com coeficiente angular 1. Portanto, sua derivada é:
A função é
Para
:
A função é , que é uma constante. A derivada de uma constante é 0:
A função é
Passo 4
Para que a função seja derivável em
, as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto devem ser iguais.
Derivada pela esquerda (
):
Derivada pela direita (
):
Passo 5
Comparando as derivadas:
Como as derivadas laterais não são iguais, a função
não é derivável em
.
Resposta
A função
não é derivável em
porque as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto são diferentes.
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Determine
e
de