Encont f(x) que satisfaz integral-infty^+infty f(y)(x-y)^2+1 d y=1x^2+9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função integral-infty^+infty f(y)(x - y)^2 + 1 , dy = 1x^2 + 9 que satisfaça a seguinte equação integral:
Aqui estamos lidando com integrais envolvendo funções racionais, e para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Observe que a integral pode ser vista como uma convolução entre (f * K)(x) = 1x^2 + 9 e a função . Ou seja:
onde .
A convolução é uma operação que, no domínio da transformada de Fourier, se transforma em uma multiplicação simples. Isso nos leva a usar a transformada de Fourier para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Fourier de uma convolução é o produto das transformadas individuais. Então, temos:
Ff * K(k) = F1x^2 + 9
Isso se simplifica para:
Ff(k) cdot FK(k) = F1x^2 + 9

Passo 4

Agora, precisamos lembrar das transformadas de Fourier das funções que estamos lidando. A transformada de Fourier de F1x^2 + a^2 = pia e^-a |k| é conhecida e é dada por:
FK(k) = F1x^2 + 1 = pi e^- |k|
Aplicando isso às nossas funções:
F1x^2 + 9 = pi3 e^-3 |k|

Passo 5

Substituindo de volta na equação transformada:
Ff(k) cdot pi e^- |k| = pi3 e^-3 |k|
Agora, vamos isolar Ff(k) = pi3 e^-3 |k|pi e^- |k| = 13 e^-2 |k| :

Passo 6

Agora que temos F^-1e^-a |k| = api (a^2 + x^2) , precisamos encontrar a transformada inversa de Fourier para obter f(x) = 13 cdot 2pi (4 + x^2) = 23pi (4 + x^2) . Sabemos que:
Aplicando isso com :

Resposta

A função que satisfaz a equação dada é:
f(x) = 23pi (x^2 + 4)

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