Encont que satisfaz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função que satisfaça a seguinte equação integral:
Aqui estamos lidando com integrais envolvendo funções racionais, e para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Observe que a integral pode ser vista como uma convolução entre e a função . Ou seja:
onde .
A convolução é uma operação que, no domínio da transformada de Fourier, se transforma em uma multiplicação simples. Isso nos leva a usar a transformada de Fourier para simplificar a equação.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Fourier de uma convolução é o produto das transformadas individuais. Então, temos:
Isso se simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar das transformadas de Fourier das funções que estamos lidando. A transformada de Fourier de é conhecida e é dada por:
Aplicando isso às nossas funções:

Passo 5

Substituindo de volta na equação transformada:
Agora, vamos isolar :

Passo 6

Agora que temos , precisamos encontrar a transformada inversa de Fourier para obter . Sabemos que:
Aplicando isso com :

Resposta

A função que satisfaz a equação dada é:

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Seja definida no intervalo de .
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função em .
Seja definida no intervalo de .
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função no plano cartesiano.
Usando que , obtenha tal que .
Obtenha a solução do seguinte problema: