Encont
que satisfaz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função
que satisfaça a seguinte equação integral:
Aqui estamos lidando com integrais envolvendo funções racionais, e para resolver isso, vamos precisar usar a transformada de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações integrais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Observe que a integral pode ser vista como uma convolução entre
e a função
. Ou seja:
onde
.
A convolução é uma operação que, no domínio da transformada de Fourier, se transforma em uma multiplicação simples. Isso nos leva a usar a transformada de Fourier para simplificar a equação.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Fourier de uma convolução é o produto das transformadas individuais. Então, temos:
Isso se simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar das transformadas de Fourier das funções que estamos lidando. A transformada de Fourier de
é conhecida e é dada por:
Aplicando isso às nossas funções:
Passo 5
Substituindo de volta na equação transformada:
Agora, vamos isolar
:
Passo 6
Agora que temos
, precisamos encontrar a transformada inversa de Fourier para obter
. Sabemos que:
Aplicando isso com
:
Resposta
A função que satisfaz a equação dada é:
Exercícios relacionados
Seja
definida no intervalo de
.
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função em
.
(ii) Encontre a série de senos mistos de Fourier da função
Seja
definida no intervalo de
.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em da função
no plano cartesiano.
(i) Esboce o gráfico da extensão periódica em
Usando que
, obtenha
tal que
.
Obtenha a solução
do seguinte problema: