Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma folha de papelão retangular medindo 10 cm por 16 cm . Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da folha de papelão.
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida
, em centímetros, de cada um dos lados dos quadrados que são retirados da folha de papelão, para que o volume
da caixa seja o maior possível?
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma folha de papelão retangular que mede 10 cm por 16 cm. O fabricante quer transformar essa folha em uma caixa com tampa. Para isso, ele vai cortar dois quadrados e dois retângulos dos cantos da folha e depois dobrar as abas que sobraram para formar a caixa.
Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a medida
, em centímetros, dos lados dos quadrados que serão cortados, para que o volume
da caixa seja o maior possível.
Vamos precisar de conhecimentos básicos de geometria e um pouco de cálculo para maximizar a função do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar como ficam os cortes na folha de papelão. Ao cortar dois quadrados e dois retângulos dos cantos, estamos basicamente removendo partes das dimensões da folha para formar a base da caixa.
Suponha que
seja o lado dos quadrados que serão cortados. Então, ao cortar esses quadrados e retângulos, teremos que:
- A altura da caixa será
. - A largura e o comprimento da base da caixa serão reduzidos pelos cortes.
Vamos calcular as novas dimensões da base da caixa após os cortes.
Passo 3
A folha original tem 10 cm de largura e 16 cm de comprimento. Após cortar os quadrados e retângulos, as dimensões da base da caixa serão:
- Comprimento da base:
- Largura da base:
Isso porque estamos cortando
cm de cada lado nas duas dimensões.
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume
da caixa em função de
. O volume de uma caixa é dado pelo produto do comprimento, largura e altura:
Substituindo as dimensões que encontramos:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Vamos multiplicar as duas primeiras expressões:
Agora, multiplicamos isso por
para obter a expressão do volume:
Então, a função do volume é:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos encontrar o ponto de máximo da função
. Isso envolve encontrar a derivada de
e igualá-la a zero.
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática:
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática
:
Onde:
Substituindo:
Portanto:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Agora, precisamos verificar qual dessas soluções faz sentido no contexto do problema.
Lembrando que a folha de papelão tem 10 cm de largura e 16 cm de comprimento, e estamos cortando
de cada dimensão para formar a base.
Se
cm:
- Comprimento da base:
cm - Largura da base:
cm
Uma largura negativa não faz sentido, portanto, descartamos
cm.
Então, a única solução viável é
cm.
Passo 9
Para confirmar que
cm realmente maximiza o volume, podemos analisar a segunda derivada ou simplesmente observar que é o único valor viável neste contexto.
Vamos calcular a segunda derivada:
Substituindo
cm:
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que temos um ponto de máximo no
cm.
Resposta
A medida
que maximiza o volume da caixa é 2 centímetros.
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Verifique se
é diferenciável no ponto
.
Calcule
, onde:
Seja
. Estude a concavidade e determine, se houver, os pontos de inflexão de
.
Seja
. Determine, se houver, os pontos de máximo e mínimo locais de
.