Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma folha de papelão retangular medindo 10 cm por 16 cm . Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da folha de papelão.
As abas que sobram são então dobradas para cima de modo a formar uma caixa com tampa. Qual deve ser a medida x, em centímetros, de cada um dos lados dos quadrados que são retirados da folha de papelão, para que o volume V da caixa seja o maior possível?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma folha de papelão retangular que mede 10 cm por 16 cm. O fabricante quer transformar essa folha em uma caixa com tampa. Para isso, ele vai cortar dois quadrados e dois retângulos dos cantos da folha e depois dobrar as abas que sobraram para formar a caixa.
Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a medida x, em centímetros, dos lados dos quadrados que serão cortados, para que o volume V da caixa seja o maior possível.
Vamos precisar de conhecimentos básicos de geometria e um pouco de cálculo para maximizar a função do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar como ficam os cortes na folha de papelão. Ao cortar dois quadrados e dois retângulos dos cantos, estamos basicamente removendo partes das dimensões da folha para formar a base da caixa.
Suponha que x seja o lado dos quadrados que serão cortados. Então, ao cortar esses quadrados e retângulos, teremos que:
  • A altura da caixa será x.
  • A largura e o comprimento da base da caixa serão reduzidos pelos cortes.
Vamos calcular as novas dimensões da base da caixa após os cortes.

Passo 3

A folha original tem 10 cm de largura e 16 cm de comprimento. Após cortar os quadrados e retângulos, as dimensões da base da caixa serão:
  • Comprimento da base:
  • Largura da base:
Isso porque estamos cortando x cm de cada lado nas duas dimensões.

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume V da caixa em função de x. O volume de uma caixa é dado pelo produto do comprimento, largura e altura:
Substituindo as dimensões que encontramos:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Vamos multiplicar as duas primeiras expressões:
Agora, multiplicamos isso por x para obter a expressão do volume:
Então, a função do volume é:

Passo 6

Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, precisamos encontrar o ponto de máximo da função V(x). Isso envolve encontrar a derivada de V(x) e igualá-la a zero.
Primeiro, vamos calcular a derivada de V(x):
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática:
Primeiro, podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática :
Onde:
Substituindo:
Portanto:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Agora, precisamos verificar qual dessas soluções faz sentido no contexto do problema.
Lembrando que a folha de papelão tem 10 cm de largura e 16 cm de comprimento, e estamos cortando de cada dimensão para formar a base.
Se cm:
  • Comprimento da base: cm
  • Largura da base: cm
Uma largura negativa não faz sentido, portanto, descartamos cm.
Então, a única solução viável é x = 2 cm.

Passo 9

Para confirmar que x = 2 cm realmente maximiza o volume, podemos analisar a segunda derivada ou simplesmente observar que é o único valor viável neste contexto.
Vamos calcular a segunda derivada:
Substituindo x = 2 cm:
Como a segunda derivada é negativa, isso confirma que temos um ponto de máximo no x = 2 cm.

Resposta

A medida x que maximiza o volume da caixa é 2 centímetros.

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