Seja $f(x)= f(x) = { 1 - x^2 se x <= 0, 2x + 1 se x > 0 }: Esboce o grático de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função f(x) que é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de x. Vamos usar conceitos de funções polinomiais e funções lineares para isso. Precisaremos entender como cada parte da função se comporta e como juntar essas partes no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando x <= 0, que é . Essa é uma função quadrática, ou seja, uma parábola. Como o coeficiente de x^2 é negativo (-1), sabemos que a parábola abre para baixo.

Passo 3

Vamos encontrar o vértice dessa parábola para saber onde ela atinge seu ponto mais alto. A fórmula para o vértice de uma parábola é . No nosso caso, e , então:
Substituindo x = 0 na função:
Então, o vértice é no ponto .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte da função, quando , que é . Essa é uma função linear, ou seja, uma reta. O coeficiente de x é 2, o que significa que a inclinação da reta é positiva, subindo para a direita. O termo constante é 1, que é o ponto onde a reta cruza o eixo y.

Passo 5

Para juntar as duas partes da função no gráfico, precisamos verificar o ponto onde x = 0. No caso da primeira parte, já vimos que . Vamos ver o que acontece na segunda parte quando x se aproxima de 0 pela direita:
Isso significa que as duas partes da função se encontram no ponto , garantindo que o gráfico seja contínuo nesse ponto.

Passo 6

Finalmente, vamos plotar os dois gráficos:
  • Para x <= 0, desenharemos a parábola , começando do vértice e abrindo para baixo.
  • Para , desenharemos a reta , começando também em e subindo para a direita.

Resposta

O gráfico de f(x) é formado por uma parábola que abre para baixo no intervalo x <= 0 com vértice em e uma reta crescente no intervalo que passa por . Juntas, essas duas partes formam um gráfico contínuo que muda de curva para reta exatamente no ponto .

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