Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson, com uma média 4. Determine as seguintes probabilidades:
(a) P(X=0)
(b) P(X <= 2)
© P(X=4)
(d) P(X=8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson com média . Nosso objetivo é calcular algumas probabilidades específicas relacionadas a essa distribuição. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distribuição de Poisson e entender como calcular probabilidades para valores específicos e cumulativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de Poisson. A probabilidade de P(X = k) = e^-lambda lambda^kk! ser igual a um valor específico é dada por:
onde:
  • é a base do logaritmo natural (~2.71828),
  • é a média da distribuição (neste caso, 4),
  • é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos resolver cada parte do exercício passo a passo usando essa fórmula.

(a) P(X = 0) = e^-4 cdot 4^00! = e^-4 cdot 11 = e^-4

Queremos saber a probabilidade de e^-4 approx 0,0183 ser igual a 0.
Usando a fórmula:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
Calculando:
P(X=0) = e^-4 approx 0,0183

(b) P(X=1) = e^-4 cdot 4^11! = e^-4 cdot 41 approx 0,0733

Aqui, queremos a probabilidade de P(X=2) = e^-4 cdot 4^22! = e^-4 cdot 162 approx 0,1465 ser 0, 1 ou 2. Vamos calcular cada uma e somar.
P(X <= 2) approx 0,0183 + 0,0733 + 0,1465 = 0,2381
Calculando cada termo:
P(X = 4) = e^-4 cdot 4^44! = e^-4 cdot 25624 approx 0,0183 cdot 25624 approx 0,1932
P(X = 8) = e^-4 cdot 4^88! = e^-4 cdot 6553640320 approx 0,0183 cdot 6553640320 approx 0,0297
Somando:

©

Queremos a probabilidade de ser igual a 4.
Usando a fórmula:

(d)

Agora, a probabilidade de ser igual a 8.
Usando a fórmula:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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