Seja . Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para , para todo .(Pense numa extensão apropriada de f.)

Passo 1

Então, a gente tem a função definida no intervalo . O que precisamos fazer é encontrar uma série de Fourier que usa senos e cossenos e que se aproxime dessa função para todo nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender como expandir de forma adequada usando as funções senoidais e cossenoidais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier geral em um intervalo pode ser escrita como:
Aqui, é a média da função, são os coeficientes das cossenos e dos senos.

Passo 3

Neste caso, nosso intervalo é , então . Mas para usar a fórmula geral, precisamos estender para o intervalo . Podemos escolher uma extensão par ou ímpar:
  • Extensão par: , o que resulta em apenas termos de cosseno.
  • Extensão ímpar: , o que resulta em apenas termos de seno.
Como é uma função ímpar, a extensão natural seria ímpar, mas o enunciado pede para envolver senos e cossenos. Então, vamos considerar a série completa com ambos os termos.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Mas como temos uma extensão ímpar, a média será zero:

Passo 5

Agora, calculamos os coeficientes . A fórmula é:
Como é ímpar e é par, o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero, então:

Passo 6

Agora, calculamos os coeficientes . A fórmula é:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto é par. Então, podemos simplificar a integral para:
Substituindo e :

Passo 7

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, avaliamos de a :
Pois e .

Passo 8

Substituindo de volta no :
Então, os coeficientes são:

Passo 9

Agora, juntando tudo na série de Fourier, temos:

Resposta

A série de Fourier que converge para no intervalo é:

Exercícios relacionados

Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , se compare com c) e e).
Sejam as funções abaixo:
a) , para .
Seja a função periódica tal que Use sua série de Fourier para mostrar que
Se tem série de Fourier dada por quais os valores de:
c) .