Seja
. Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para
, para todo
.(Pense numa extensão apropriada de f.)
Passo 1
Então, a gente tem a função
definida no intervalo
. O que precisamos fazer é encontrar uma série de Fourier que usa senos e cossenos e que se aproxime dessa função para todo
nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender como expandir
de forma adequada usando as funções senoidais e cossenoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier geral em um intervalo
pode ser escrita como:
Aqui,
é a média da função,
são os coeficientes das cossenos e
dos senos.
Passo 3
Neste caso, nosso intervalo é
, então
. Mas para usar a fórmula geral, precisamos estender
para o intervalo
. Podemos escolher uma extensão par ou ímpar:
- Extensão par:
, o que resulta em apenas termos de cosseno. - Extensão ímpar:
, o que resulta em apenas termos de seno.
Como
é uma função ímpar, a extensão natural seria ímpar, mas o enunciado pede para envolver senos e cossenos. Então, vamos considerar a série completa com ambos os termos.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Mas como temos uma extensão ímpar, a média será zero:
Passo 5
Agora, calculamos os coeficientes
. A fórmula é:
Como
é ímpar e
é par, o produto
é ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero, então:
Passo 6
Agora, calculamos os coeficientes
. A fórmula é:
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto
é par. Então, podemos simplificar a integral para:
Substituindo
e
:
Passo 7
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Agora, avaliamos de
a
:
Pois
e
.
Passo 8
Substituindo de volta no
:
Então, os coeficientes
são:
Passo 9
Agora, juntando tudo na série de Fourier, temos:
Resposta
A série de Fourier que converge para
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , se
compare com c) e e).
a)
Sejam as funções abaixo:
a) , para
.
a)
Seja a função
periódica tal que
Use sua série de Fourier para mostrar que
Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
c) .
c)