Seja a função
periódica tal que
Use sua série de Fourier para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a série de Fourier de uma função periódica para mostrar que a soma
é igual a
. Então, vamos trabalhar com séries de Fourier, que são uma forma de escrever funções periódicas como soma de senos e cossenos. Precisamos conhecer um pouquinho sobre séries de Fourier e como calcular seus coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função par, que é o caso aqui (já que
e
), só tem termos de cosseno. Mas, na verdade, nossa função é ímpar em torno de
, então vamos ajustar isso. A função é definida por:
Como é uma função ímpar em relação a
, a série de Fourier dela só terá termos de senos.
Passo 3
Vamos encontrar os coeficientes
da série de Fourier, que são dados por:
Por ser uma função ímpar, podemos simplificar a integral para:
Substituindo
nessa integral:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Portanto, os coeficientes
ficam:
Isso significa que
só será diferente de zero quando
for ímpar, já que para
par,
.
Passo 6
Dessa forma, a série de Fourier da nossa função fica:
Aqui, substituímos
por
para considerar apenas os termos ímpares.
Passo 7
Agora, vamos usar a série de Fourier para encontrar a soma desejada. Avaliamos a série no ponto
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Essa é a série alternada para
, mas queremos a soma dos inversos dos quadrados dos números ímpares.
Passo 9
Para encontrar
, usamos a relação conhecida da série de Basel, que nos dá
. Separando os termos pares e ímpares:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 10
Resolvendo para
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para
, para todo
.(Pense numa extensão apropriada de f.)
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , se
compare com c) e e).
a)
Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
c) .
c)
Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por