Seja a função periódica tal que Use sua série de Fourier para mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a série de Fourier de uma função periódica para mostrar que a soma é igual a . Então, vamos trabalhar com séries de Fourier, que são uma forma de escrever funções periódicas como soma de senos e cossenos. Precisamos conhecer um pouquinho sobre séries de Fourier e como calcular seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função par, que é o caso aqui (já que e ), só tem termos de cosseno. Mas, na verdade, nossa função é ímpar em torno de , então vamos ajustar isso. A função é definida por:
Como é uma função ímpar em relação a , a série de Fourier dela só terá termos de senos.

Passo 3

Vamos encontrar os coeficientes da série de Fourier, que são dados por:
Por ser uma função ímpar, podemos simplificar a integral para:
Substituindo nessa integral:

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
Sabemos que , então:

Passo 5

Portanto, os coeficientes ficam:
Isso significa que só será diferente de zero quando for ímpar, já que para par, .

Passo 6

Dessa forma, a série de Fourier da nossa função fica:
Aqui, substituímos por para considerar apenas os termos ímpares.

Passo 7

Agora, vamos usar a série de Fourier para encontrar a soma desejada. Avaliamos a série no ponto :
Sabemos que , então:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Essa é a série alternada para , mas queremos a soma dos inversos dos quadrados dos números ímpares.

Passo 9

Para encontrar , usamos a relação conhecida da série de Basel, que nos dá . Separando os termos pares e ímpares:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 10

Resolvendo para :

Resposta

Exercícios relacionados

Seja . Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para , para todo .(Pense numa extensão apropriada de f.)
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , se compare com c) e e).
Se tem série de Fourier dada por quais os valores de:
c) .
Seja função -periódica dada por se .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .