Seja a função 2 pi periódica tal que f(x)=l1 , se x in[0, pi] -1, se x in]-pi, 0[ Use sua série de Fourier para mostrar que
sumn=1^infty 1(2 n-1)^2=pi^28

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar a série de Fourier de uma função periódica para mostrar que a soma é igual a . Então, vamos trabalhar com séries de Fourier, que são uma forma de escrever funções periódicas como soma de senos e cossenos. Precisamos conhecer um pouquinho sobre séries de Fourier e como calcular seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função par, que é o caso aqui (já que f(x) = 1, & se x in [0, pi] -1, & se x in (-pi, 0) e ), só tem termos de cosseno. Mas, na verdade, nossa função é ímpar em torno de , então vamos ajustar isso. A função é definida por:
Como é uma função ímpar em relação a , a série de Fourier dela só terá termos de senos.

Passo 3

Vamos encontrar os coeficientes bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx da série de Fourier, que são dados por:
bn = 2pi integral0^pi f(x) sin(nx) , dx
Por ser uma função ímpar, podemos simplificar a integral para:
bn = 2pi integral0^pi sin(nx) , dx
Substituindo nessa integral:

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
integral0^pi sin(nx) , dx = [ -1n cos(nx) ]0^pi = -1n cos(npi) + 1n cos(0) = 1n (1 - cos(npi))
Sabemos que 1n (1 - (-1)^n) , então:

Passo 5

Portanto, os coeficientes bn = 2pi cdot 1n (1 - (-1)^n) = 2pi n (1 - (-1)^n) ficam:
Isso significa que só será diferente de zero quando for ímpar, já que para par, .

Passo 6

Dessa forma, a série de Fourier da nossa função fica:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(nx) = 2pi sumk=1^infty 12k-1 sin((2k-1)x)
Aqui, substituímos por para considerar apenas os termos ímpares.

Passo 7

Agora, vamos usar a série de Fourier para encontrar a soma desejada. Avaliamos a série no ponto f(pi2) = 1 = 2pi sumk=1^infty 12k-1 sin((2k-1)pi2) :
1 = 2pi sumk=1^infty (-1)^k-12k-1
Sabemos que , então:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por pi2 = sumk=1^infty (-1)^k-12k-1 , temos:
Essa é a série alternada para , mas queremos a soma dos inversos dos quadrados dos números ímpares.

Passo 9

Para encontrar sumn=1^infty 1n^2 = sumk=1^infty 1(2k-1)^2 + sumk=1^infty 1(2k)^2 , usamos a relação conhecida da série de Basel, que nos dá sumk=1^infty 1(2k)^2 = 14 sumk=1^infty 1k^2 = pi^224 . Separando os termos pares e ímpares:
pi^26 = sumk=1^infty 1(2k-1)^2 + pi^224
Sabemos que:
Portanto:

Passo 10

Resolvendo para sumk=1^infty 1(2k-1)^2 = pi^26 - pi^224 = pi^28 :

Resposta

sumn=1^infty 1(2n-1)^2 = pi^28

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