Se f(x) tem série de Fourier dada por 2+sumn=1^infty 1n^2 cos 2 n x+1n^2+1 sen(2 n+1) x quais os valores de:
c) integral-pi^pi f(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é representada por uma série de Fourier. O enunciado pede para calcular a integral dessa função de a . Para resolver isso, vamos lembrar dos conceitos básicos de integração de séries de Fourier e como as funções seno e cosseno se comportam nessas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão completa da função f(x) = 2 + sumn=1^infty ( 1n^2 cos(2n x) + 1n^2+1 sin((2n+1) x) ) :
integral-pi^pi f(x) , dx
Nossa meta é calcular:

Passo 3

Vamos separar a integral em partes:
integral-pi^pi f(x) , dx = integral-pi^pi 2 , dx + sumn=1^infty ( 1n^2 integral-pi^pi cos(2n x) , dx + 1n^2+1 integral-pi^pi sin((2n+1) x) , dx )
Isso é possível por causa da linearidade da integral.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Começando pela constante:
integral-pi^pi 2 , dx = 2 cdot (2pi) = 4pi
A integral de uma constante de a é simplesmente vezes o comprimento do intervalo, que é .

Passo 5

Agora, vamos analisar as integrais das funções cosseno e seno. Sabemos que:
integral-a^a cos(kx) , dx = 0 e integral-a^a sin(kx) , dx = 0
Isso acontece porque as funções seno e cosseno são ímpares e pares, respectivamente, e suas integrais sobre intervalos simétricos em torno de zero cancelam.

Passo 6

Aplicando isso às nossas integrais:
1n^2 integral-pi^pi cos(2n x) , dx = 0 e 1n^2+1 integral-pi^pi sin((2n+1) x) , dx = 0
Ou seja, todas as integrais das séries adicionam zero.

Resposta

Somando tudo, a integral de integral-pi^pi f(x) , dx = 4pi de a é:

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