Se tem série de Fourier dada por quais os valores de:
c) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é representada por uma série de Fourier. O enunciado pede para calcular a integral dessa função de a . Para resolver isso, vamos lembrar dos conceitos básicos de integração de séries de Fourier e como as funções seno e cosseno se comportam nessas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão completa da função :
Nossa meta é calcular:

Passo 3

Vamos separar a integral em partes:
Isso é possível por causa da linearidade da integral.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Começando pela constante:
A integral de uma constante de a é simplesmente vezes o comprimento do intervalo, que é .

Passo 5

Agora, vamos analisar as integrais das funções cosseno e seno. Sabemos que:
Isso acontece porque as funções seno e cosseno são ímpares e pares, respectivamente, e suas integrais sobre intervalos simétricos em torno de zero cancelam.

Passo 6

Aplicando isso às nossas integrais:
Ou seja, todas as integrais das séries adicionam zero.

Resposta

Somando tudo, a integral de de a é:

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Seja a função periódica tal que Use sua série de Fourier para mostrar que
Seja . Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para , para todo .(Pense numa extensão apropriada de f.)
Seja função -periódica dada por se .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
Seja a função periódica dada por para .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por