Se
tem série de Fourier dada por
quais os valores de:
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é representada por uma série de Fourier. O enunciado pede para calcular a integral dessa função de
a
. Para resolver isso, vamos lembrar dos conceitos básicos de integração de séries de Fourier e como as funções seno e cosseno se comportam nessas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão completa da função
:
Nossa meta é calcular:
Passo 3
Vamos separar a integral em partes:
Isso é possível por causa da linearidade da integral.
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Começando pela constante:
A integral de uma constante
de
a
é simplesmente
vezes o comprimento do intervalo, que é
.
Passo 5
Agora, vamos analisar as integrais das funções cosseno e seno. Sabemos que:
Isso acontece porque as funções seno e cosseno são ímpares e pares, respectivamente, e suas integrais sobre intervalos simétricos em torno de zero cancelam.
Passo 6
Aplicando isso às nossas integrais:
Ou seja, todas as integrais das séries adicionam zero.
Resposta
Somando tudo, a integral de
de
a
é:
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Seja a função
periódica tal que
Use sua série de Fourier para mostrar que
Seja
. Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para
, para todo
.(Pense numa extensão apropriada de f.)
Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por .
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
Seja a função
periódica dada por
para
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por