Sejam as funções abaixo:
a) , para .

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão apresenta a função definida no intervalo . Nosso objetivo vai ser entender melhor essa função: como ela se comporta, onde ela muda de direção e possivelmente encontrar sua derivada ou pontos interessantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor absoluto e como ele afeta a função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o valor absoluto. A expressão indica a distância de até na linha dos números reais. Isso significa que:
  • Se for positivo ou zero, .
  • Se for negativo, .
Vamos descobrir para quais valores de a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 3

Vamos resolver a equação para encontrar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto é zero:
Então, em , a expressão dentro do valor absoluto é zero. Isso significa que para , será negativo, e para , será positivo.

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a função sem o valor absoluto, separando em duas partes:
  1. Para :
  2. Para :
Isso nos ajuda a entender como a função se comporta em diferentes partes do intervalo.

Passo 5

Agora, vamos analisar cada parte da função:
  1. Para :
    A função é uma reta decrescente. Isso significa que conforme aumenta, diminui.
  2. Para :
    A função é uma reta crescente. Ou seja, conforme aumenta, também aumenta.
No ponto , a função muda de decrescente para crescente, formando um “V”. Esse ponto é conhecido como vértice da função valor absoluto.

Passo 6

Vamos agora desenhar o gráfico para visualizar melhor essa função:
  1. Para :
    • Quando :
    • Quando :
  2. Para :
    • Quando :
    • Quando :
Com esses pontos, o gráfico forma um “V” com o vértice em e interceptando o eixo em e .

Passo 7

Se quisermos encontrar a derivada da função , vamos considerar as duas partes que definimos:
  1. Para :
  2. Para :
No ponto , a derivada não existe porque há uma “cusp” no gráfico, ou seja, a direção da função muda abruptamente.

Resposta

Concluímos que a função , definida no intervalo , forma um gráfico em “V” com vértice em . Ela é decrescente para , crescente para e possui uma derivada de -2 e 2 nessas respectivas regiões, sem derivada definida exatamente em .

Exercícios relacionados

Sejam as funções abaixo:
a) , para
Seja função periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por .
b) Suponha contínua e contínua por partes e seja sua série de Fourier. Expresse seus coeficientes em função dos coeficientes de Fourier de .
Supondo que as funções abaixo sejam - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , se compare com c) e e).
Seja . Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para , para todo .(Pense numa extensão apropriada de f.)