Sejam as funções abaixo:
a)
, para
.
a)
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão apresenta a função
definida no intervalo
. Nosso objetivo vai ser entender melhor essa função: como ela se comporta, onde ela muda de direção e possivelmente encontrar sua derivada ou pontos interessantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é valor absoluto e como ele afeta a função. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o valor absoluto. A expressão
indica a distância de
até
na linha dos números reais. Isso significa que:
- Se
for positivo ou zero, . - Se
for negativo, .
Vamos descobrir para quais valores de
a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
Passo 3
Vamos resolver a equação
para encontrar o ponto onde a expressão dentro do valor absoluto é zero:
Então, em
, a expressão dentro do valor absoluto é zero. Isso significa que para
,
será negativo, e para
, será positivo.
Passo 4
Com isso, podemos reescrever a função
sem o valor absoluto, separando em duas partes:
-
Para
: -
Para
:
Isso nos ajuda a entender como a função se comporta em diferentes partes do intervalo.
Passo 5
Agora, vamos analisar cada parte da função:
-
Para
: A funçãoé uma reta decrescente. Isso significa que conforme aumenta, diminui. -
Para
: A funçãoé uma reta crescente. Ou seja, conforme aumenta, também aumenta.
No ponto
, a função muda de decrescente para crescente, formando um “V”. Esse ponto é conhecido como vértice da função valor absoluto.
Passo 6
Vamos agora desenhar o gráfico para visualizar melhor essa função:
-
Para
: -
Quando
: -
Quando
:
-
-
Para
: -
Quando
: -
Quando
:
-
Com esses pontos, o gráfico forma um “V” com o vértice em
e interceptando o eixo
em
e
.
Passo 7
Se quisermos encontrar a derivada da função
, vamos considerar as duas partes que definimos:
-
Para
: -
Para
:
No ponto
, a derivada não existe porque há uma “cusp” no gráfico, ou seja, a direção da função muda abruptamente.
Resposta
Concluímos que a função
, definida no intervalo
, forma um gráfico em “V” com vértice em
. Ela é decrescente para
, crescente para
e possui uma derivada de -2 e 2 nessas respectivas regiões, sem derivada definida exatamente em
.
Exercícios relacionados
Sejam as funções abaixo:
a) , para
a)
Seja
função
periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por
.
b) Suponha contínua e
contínua por partes e seja
sua série de Fourier. Expresse seus coeficientes em função dos coeficientes de Fourier de
.
b) Suponha
Supondo que as funções abaixo sejam
- periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas :
a) , se
compare com c) e e).
a)
Seja
. Encontre uma série de Fourier envolvendo senos e cossenos, que convirja para
, para todo
.(Pense numa extensão apropriada de f.)